Resumen de Tesis - Estructura de grupos finitos y propiedades aritméticas de los 
tamaños de clase de conjugación.


La presente memoria se desarrolla en el marco de la Teoría de Grupos Finitos y estudia la relación existente 
entre la estructura de un grupo y los tamaños de clases de conjugación de sus elementos. En el primer capítulo 
se recopilan los conceptos básicos sobre tamaños de clase de conjugación en un grupo finito. En el segundo capítulo 
se recogen los resultados preliminares que hemos necesitado para abordar los problemas planteados sobre los tamaños 
de clases de conjugación. El tercer capítulo está dedicado al estudio de la p-estructura del grupo a partir de los 
tamaños de clase de conjugación de sus elementos p-regulares. Se demuestra una extensión del Teorema de Itô para tamaños 
de clases de conjugación de elementos p-regulares, para un cierto primo p, que no utiliza la condición de p-resolubilidad 
del grupo. En particular se obtiene que G es resoluble. En el cuarto capítulo se investiga la estructura de los grupos a 
partir de los tamaños de clases de conjugación de elementos de orden potencia de primo. Se demuestra que si G es un grupo 
p-resoluble con tamaños de clase de conjugación de p'-elementos de orden potencia de primo 1 y m, entonces m es producto de 
potencias de dos primos distintos. Se demuestra que si m es potencia del primo p entonces G tiene p-complementos abelianos, 
y si m es producto de potencias de dos primos p y q entonces G = PQ x A, siendo P y Q p-subgrupo y q-subgrupo de Sylow de G, 
y A subgrupo central de G. También se demuestra que si G es un grupo con dos tamaños de clases de elementos de orden potencia 
de primo, entonces es nilpotente. En el quinto y último capitulo se estudia la estructura de los subgrupos normales de un grupo, 
bajo ciertas condiciones aritméticas sobre los tamaños de las G-clases de conjugación contenidas en dichos subgrupos. Se demuestra 
que si N es un subgrupo normal de G tal que los tamaños de G-clases de N son 1 y m, para algún entero m, entonces N es abeliano 
o es producto directo de un p-grupo no abeliano por un subgrupo central de G, y por tanto, es nilpotente. También se extiende una 
propiedad de los p-grupos con dos tamaños de clases, a los p-subgrupos normales no abelianos de un grupo G con dos tamaños de 
G-clases, demostrando que si G es un grupo finito y P es un p-subgrupo normal no abeliano de G, con dos tamaños de G-clases de 
conjugación, entonces P modulo centro de G intersección P, y el particular P sobre el centro de P, tienen exponente p.