Resum - l'estructura d'un grup finit i propietats aritmètiques de les mides de classe de conjugació dels seus elements.

La present memòria es desenvolupa dins del marc de la Teoria de Grups Finits, concretament en l'estudi de la relació existent entre 
l'estructura d'un grup i les mides de classes de conjugació dels seus elements. En aquest treball estudiem les mides de classe de conjugació 
dels elements p-regulars del grup i dels elements d'ordre potència de primer. Així mateix, s'investiga la influència de les mides de 
G-classes dels elements d'un subgrup normal en l'estructura d'aquest subgrup. Partint d'un teorema clàssic per al cas ordinari , com és el
teorema d'Itô, que estableix la nilpotència d'un grup amb dos mides de classes de conjugació, es desenvolupen noves demostracions que 
permeten estendre aquet resultat, quan considerem alguns subconjunts d'elements del grup. 

Al realitzar aquestes extensions utilitzem, en la mesura del possible, tècniques senzilles que no requereixen resultats profunds. 
El primer capítol de la memòria és una recopilació de conceptes i resultats bàsics sobre mides de classe de conjugació en un grup finit. 
En el segon capítol es recullen aquells resultats preliminars que hem necessitat per a abordar els problemes plantejats sobre les mides de 
classes de conjugació. Els nostres resultats estan recollits en els tres últims capítols de la memòria. El tercer capítol està dedicat a 
l'estudi de la p-estructura del grup a partir de les mides de classe de conjugació dels seus elements p-regulars. En aquest capítol es 
presenta una generalització del Teorema d'Itô per a mides de classe de conjugació d'elements p-regulars, per a un cert primer p, baix la
hipòtesi de p-resolubilitat del grup. En aquest capítol es demostra que si b = 0 aleshores el grup G té p-complement abelià i si b és 
distint a zero aleshores G = PQ x A, amb P un p-subgrup de Sylow de G, Q un q-subgrup de Sylow de G i A central en G. Així mateix es 
demostra que si a = 0 aleshores G = P x Q x A, amb A central en G. En particular, s'obté que G és resoluble.

En el quart capítol s'investiga l'estructura dels grups a partir de les mides de classes de conjugació d'elements d'ordre potència de primer.
El primer resultat principal del capítol estableix que si G és un grup amb mides de classe de conjugació d'elements d'ordre potència de 
primer 1 i m, per a algun enter m, aleshores m és potència d'un primer p i G = P x A, amb P un p-subgrup de Sylow de G i A un subgrup abelià;
llavors, el grup és nilpotent. S'obté així una generalització del Teorema d'Itô per a elements d'ordre potència de primer. Concloem el 
capítol amb un teorema en el que es demostra que si G és un grup p-resoluble amb mides de classe de conjugació de p'-elements d'ordre 
potència de primer 1 i m, aleshores m és producte de potència de dos primers distints. Es demostra que si m ès potència de p,aleshores G té 
p-complements abelians, en cas contrari G = PQ x A, amb P un p-subgrup de Sylow de G, Q un q-subgrup de Sylow de G i A central en G. 

En el quint i últim capítol s'estudia l'estructura dels subgrups normals d'un grup, baix certes condicions aritmètiques sobre les mides de 
les G-classes de conjugació contingudes en aquests subgrups. En particular es demostra que si N és un subgrup normal de G tal que les mides 
de G-classes de N són 1 i m, per a algun enter m, aleshores N és abelià o és producte directe d'un p-grup no abelià per un subgrup central 
de G, i per tant, és nilpotent. La conclusió final s'obté demostrant primer la nilpotència en l'univers resoluble , i estenent el resultat 
al cas no resoluble. La demostració del cas no resoluble es recolza en el coneixement de l'estructura dels CP-grups simples. Concloem el 
capítol estenent una propietat dels p-grups amb dos mides de classes, als p-subgrups normals no abelians d'un grup G amb dos mides de 
G-classes.  Concretament demostrem que si G és un grup finit i P és un p-subgrup normal no abelià de G, amb dos mides de G-classes de 
conjugació,aleshores P/Z(P) té exponent p.