Resum
El problema de la resoluciò d'equacions i sistemes d'equacions no lineals figura entre els més importants. En
la teoria i la pràctica, no sols de les matemàtiques aplicades, sinò també de moltes branques de les ciències, la
Enginyeria, la física, la informàtica, l'astronomía, les finances, . . . . El gran nombre de científics que han treballat
recentment en este tema mostren un alt nivell d'interés contemporani. Encara que el ràpid desenvolupament de
les computadores digitals va portar a l'aplicaciò efectiva de molts mètodes numèrics, en la realitzaciò pràctica, és
necessari resoldre diversos problemes com ara l'eficiència computacional basat en el temps usat pel processador,
el diseny de mètodes iteratius que possesquen una ràpida convergència a la soluciò desitjada, el control d'errors
d'arredoniment, la informaciò sobre els límits d'error de la soluciò aproximada obtinguda, indicant les condicions
inicials de còmput verificables que garantixen una convergència segura, etc. Els problemes mencionats constituïxen
el punt de partida d'aquesta memòria.
L'objectiu general d'aquesta memòria es trovar nous i eficients mètodes iteratius per a equacions i sistemes
d'equacions no lineals. El punt de partida s el treball realitzat per Weerakoon i Fernando en el que desenvolupen,
en una variable, la variant del mètode de Newton que utilitza la fòrmula de quadratura trapezoïal, aconseguint
orde de convergència tres. Ozban va ampliar esta idea, i va obtindre alguns mètodes nous amb convergència
de tercer orde. D'altra banda, els dits mètodes sòn casos particulars de la família de variants Del mètode de
Newton d'orde tres definida per M. Frontini i E. Sormani, utilitzant una fòrmula de quadratura interpolatoria
genèrica de nodes equiespaciats. Així, en primer lloc, basant-nos en la idea de M. Frontini i E. Sormani, utilitzem
la fòrmula de quadratura gaussiana genèrica i desenvolupen en el Capítol 3 un conjunt de famílies de mètodes
iteratius per a equacions. Tots els mètodes del conjunt sòn de tipus predictor-corrector on la predicciò es realitza
inicialment amb el mètode de Newton. Demostrem que el seu orde de convergència és tres davall certes condicions
imposades als polinomis ortogonals que definixen la família de quadratura gaussiana corresponent i cinc depenent del
comportament en la soluciò de la derivada segona de la funciò que definix l'equaciò no lineal. Buscant millorar l'orde
de convergència del conjunt de mètodes iteratius desenvolupats, modifiquem els algoritmes obtinguts utilitzant
altres mètodes de predicciò que superen l'orde de convergència dos del predictor Newton. Inicialment, usem com a
predictor el mètode de Traub que té orde de convergència tres, obtenint un conjunt de famlies de mètodes iteratius
d'orde cinc (o onze davall certes condicions imposades als polinomis ortogonals i la derivada segona de la funciò
que definix l'equaciò. Posteriorment, usem com a predictors els mètodes iteratius d'Ostrowski i de Kou l'orde de
convergència dels quals és quatre, rebent el conjunt de famílies de mètodes iteratius d'orde 6 i 11 davall les mateixes
condicions.
Seguint la tendència actual en el desenvolupament de nous mètodes iteratius en el Capítol 4 s'han dissenyat
diversos mètodes d'orde de convergència alt i ndex d'eficiència òptims segons la conjectura de Kung-Traub (aquesta
conjectura, junt amb altres conceptes bàsics, apareixen desenvolupats en el Capítol 2).
El Capítol 5 esta dedicat a la busca de nous mètodes iteratius per a sistemes d'equacions no lineals. Generalment,
per a augmentar l'orde de convergència es necessiten noves avaluacions de la matriu Jacobiana i de la funciò no
lineal. En aquest sentit, usem alguns dels mètodes desenvolupats per a equacions en el Capítol 3 i els adaptem per
a sistemes, mentres que altres sòn dissenyat especialment per a sistemes.
El Capítol 6 està dedicat a la relaciò entre els mètodes iteratius de resoluciò d'equacions no lineals i problemes
de valor inicial. Les fòrmules de quadratura en general, i les de Gauss en particular, ens permeten determinar
numèricament les solucions, tant d'equacions o sistemes d'equacions no lineals (generant mètodes iteratius com els
descrits en la present memòria), com de problemes de valor inicial, lineals o no. D'aquesta manera, les fòrmules de
quadratura constituxen el nexe d'uniò entre ambdòs problemes.
Acabem esta memòria amb la presentaciò de les conclusions més rellevants que s'han obtingut i plantegem
alguns problemes oberts que constituiran les nostres futures lnies d'investigaciò.