RESUM DE TESI DOCTORAL


Aquesta tesi doctoral s'emmarca dins de l'anŕlisi dels subespais de successions ortogonals 
de funcions de quadrat integrable respecte d'una mesura vectorial que és numerŕblement 
aditiva i pren valors en un espai de Banach. La motivació d'aquest treball  és la 
generalització dels arguments geomčtrics que proporcionen els procediments clŕssics 
d'aproximació als espais de Hilbert. La noció d'ortogonalitat representa un punt clau que 
permet el desenvolupament de la teoria de la convergčncia de successions en aquests 
espais. Actualment, la convergčncia gairebé per a tot punt, la convergčncia en norma i la 
convergencia feble són temes ben coneguts en la teoria d'espais de funcions de Hilbert.

Els espais de Banach de funcions L2(m) d'una mesura de vectorial m representen una 
ŕmplia classe de reticles de Banach: cada reticle de Banach 2-convex ordre continu amb 
una unitat feble pot ser representat (a través d'un isomorfisme d'ordre) com un espai L2(m) 
de una mesura vectorial adequada m. L'estructura integral que l'operador integració 
proporciona en aquests espais, permet generalitzar arguments de ortogonalitat de la teoria 
d'espais de Hilbert, tot i que els espais L2(m) estan lluny de ser espais de Hilbert.

En el primer capítol d'aquesta memňria s'introdueixen alguns conceptes bŕsics dels espais 
de Banach de funcions, integració sobre mesures vectorials i altres temes que serŕn 
necessaris al llarg de tot el treball. Es desenvolupen alguns resultats sobre la convergčncia 
de successions en espais de Banach de funcions, igual que es mostren alguns procediments 
que serŕn de gran utilitat. Alguns arguments sobre ortogonalitat també són introduďts, tant en 
el context de succesions de L2(m) com en les integrals d'aquestes successions quan la 
mesura vectorial m pren valors en un espai de Hilbert H. S'analitza la convergčncia 
incondicional de successions des del punt de vista abstracte dels espais de funcions 
integrables, i es proporciona una versió del mčtode de disjunticació de Kadec i Pelczynsky 
per a mesures vectorials.

En el segon capítol, es presenten formalment tres nocions d'ortogonalitat d'una successió 
respecte d'una mesura vectorial. La m-ortogonalitat feble, la (natural) m-ortogonalitat i la m-
ortogonalitat forta, proporcionant també alguns exemples que mostren la relació amb 
problemes clŕssics del anŕlisi funcional. També s'estudia la geometria d'aquestes 
successions.

En el capítol 3 analitzem la convergčncia gairebé per a tot punt de successions que són 
febles m-ortogonals. El resultat més rellevant d'aquesta secció ens mostra una versió 
general del teorema de Menchov-Rademacher. A continuación es mostra un cas particular 
que involucra les c0-sumes d'un espai de Hilbert amb la finalitat de mostrar les propietats de 
la convergčncia gairebé per a tot punt.

Finalment, al capítol 4 es desenvolupa una aplicació concreta en el context de les mesures 
vectorials. Es facilita un métode d'aproximació respecte d'una mesura paramčtrica. Els 
principals elements d'aquest procediment són una successió feble m-ortonormal i una funció 
integrable Bochner que definirŕ la nostra mesura, sobre la qual podrem calcular uns 
coeficients de Fourier - que en aquest cas seran funcions mesurables - per una determinada 
funció de L2(m). I finalment, es mostrarŕn algunes aplicacions d'aproximació de senyals 
procedents de dades experimentals en el camp de l'acústica.


Eduardo Jiménez Fernández
VECTOR MEASURE ORTHOGONAL SEQUENCES IN SPACES OF SQUARE 
INTEGRABLE FUNCTIONS