La teoria de polinomis ortogonals matriarcals hi ha 
experimentat un desenvolupament important en les últimes 
dècades. El primer contacte del nostre grup d'investigació 
amb el tema va sorgir al dearrollar un mètode de Frobenius 
matriarcal per a resoldre equacions diferencials matriarcals 
de segon orde sense augmentar la dimensió del problema. De 
esta forma, van aparéixer solucions de tipus polinomial 
matriarcal d'equacions diferencials matriarcals que 
generalitzaven les equacions escalares clàssiques d'Hermite, 
Laguerre; Legendre.En la Tesi doctoral de R. Company [3] i 
en els treballs següents [34],[35],[40],es van introduir els 
polinomis matriarcals de Laguerre, Gegenbauer i Hermite, 
que verificaven certes propietats d'ortogonalidad de 
naturalesa no del tot transparent.
Ens trobem llavors, al disposar d'exemples de classes 
concretes de polinomis ortogonals, sense estructurar la idea de 
ortogonalidad, a pesar que ja s'havien publicat, inclús 
en un context abstracte, però pròxim, resultats sobre 
ortogonalidad de polinomis en un àlgebra no commutativa 
[10],[11].
L'objectiu d'esta tesi és bidireccional; d'una banda es tracta 
d'estructurar satisfactòriament la idea d'ortogonalidad per a 
polinomis matriarcals, però, amb la intenció dirigida a 
aconseguir la utilitat en les aplicacions que subministren les 
famílies clàssiques de polinomis ortogonals escalares. Estem 
pensant, a curt termini, en este treball, a utilitzar la idea de 
ortoganalidad de polinomis matriarcals per a aproximar 
integrals matriarcals i, també a desenvolupar fundiones 
matriarcals en sèrie de polinomis ortogonals matriarcals.
Estes ambicions han estat influïdes per l'enfocament de 
Chihara [5] i els treballs de Stone [70] i Ghizzetti [29]. en la 
memòria es resolen algunes de les dificultats que apareixen 
i, se sumnistran algunes respostes, parcialment publicades 
en [36], [38], [39], [41], que no són ni de bon tros, el final 
 dels molts objectius que en esta línia, pensem se 
poden aconseguir. Entre les qüestions a resoldre objecte de 
este treball es troben:
- Definició del concepte d'ortogonalidad per a polinomis 
matriarcals i funcions matriarcals.
- Estructurar un espai normado base on jauen les 
funcions ortogonals matriarcals.
- Estudi de la relació de la norma de l'espai base i el 
concepte d'ortogonalidad en absència d'espai Hilbert.
- Solució del problema de la millor aproximació matriarcal 
respecte a un funcional matriarcal definit positiu.
- Sèries de Fourier matriarcals.
- Obtenció d'anàlegs de Lema de Riemann-Lebesgue i de 
la igualtat (desigualtat) de Bessel-Parseval, en absència de 
estructura hilbertiana.
- Introducció del concepte de totalitat per a  una família de 
funcions ortogonals matriarcals en absència d'estructura 
hilbertiana.
- Possibilitat de desenvolupament en sèrie de polinomis ortogonals 
matriarcals (només per al cas d'Hermite)
- Aplicació al desenvolupament de l'exponencial d'una  matriu.