Funciones Semi-Lipschitz, Mejor Aproximación e Hiperespacios Casi-Métricos Fuzzy


José Manuel Sánchez Álvarez


En los últimos años se ha desarrollado una teoría matemática que permite generalizar
 algunas teorías matemáticas clásicas: hiperespacios, espacios de funciones, topología
 algebraica, etc. Este hecho viene motivado, en parte, por ciertos problemas de análisis
 funcional, concentración de medidas, sistemas dinámicos, teoría de las ciencias de la
 computación, matemática económica, etc.

Esta tesis doctoral está dedicada al estudio de algunas de estas generalizaciones desde
 un punto de vista no simétrico. En la primera parte, estudiamos el conjunto de funciones
 semi-Lipschitz; mostramos que este conjunto admite una estructura de cono normado. 
Estudiaremos diversos tipos de completitud (bicompletitud, right k-completitud, 
D-completitud, etc), y también analizaremos cuando la casi-distancia correspondiente
 es balanceada. Además presentamos un modelo adecuado para el computo de la complejidad
 de ciertos algoritmos mediante el uso de normas relativas. Esto se consigue seleccionando
 un espacio de funciones semi-Lipschitz apropiado. Por otra parte, mostraremos que estos
 espacios proporcionan un contexto adecuado en el que caracterizar los puntos de mejor 
aproximación en espacios casi-métricos.

El hecho de que varias hipertopologías hayan sido aplicadas con éxito en diversas 
áreas de Ciencias de la Computación ha contribuido a un considerable aumento del 
interés en el estudio de los hiperespacios desde un punto de vista no simétrico. 
Así, en la segunda parte de la tesis, estudiamos algunas condiciones de mejor 
aproximación en el contexto de hiperespacios casi-métricos. Por otro lado, caracterizamos
 la completitud de un espacio uniforme usando la completitud de Sieber-Pervin, la de 
Smyth y la D-completitud de su casi-uniformidad superior de Hausdorff-Bourbaki, definida
 en los subconjuntos compactos no vacíos.


Finalmente, introducimos dos nociones de hiperespacio casi-métrico fuzzy que generalizan
 las correspondientes nociones de espacio métrico fuzzy de Kramosil y Michalek, y de 
George y Veeramani respectivamente al contexto de hiperespacios casi-métricos. Presentamos
 diversas nociones básicas de completitud, precompacidad y compacidad. Aplicamos esta 
teoría a varios ejemplos y ponemos de manifiesto las ventajas del uso de casi-métricas
 fuzzy en lugar de las métricas y casi-métricas clásicas.




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