La tesis tiene como objetivo principal el estudio de la dualidad vectorial
entre los espacios L^{p}(m) y L^{q}(m) de funciones
integrables con respecto a una medida vectorial con valores en un
espacio de Banach X, con p,q >1 exponentes reales conjugados.
La clave de la dualidad es la definición de una forma bilineal
Phi:L^{p}(m)\times L^{q}(m)\rightarrow X dada por el operador
integración, que a cada par (f,g) en L^{p}(m)\times L^{q}(m)
le asocia \int_{\Omega}fg dm. Mediante esta forma bilineal se
definen dos topologías intermedias para el espacio L^{p}(m). La
más débil es la topología m-débil, que corresponde a la
topología de la convergencia débil de la integrales. Además de
estudiar sus propiedades, se prueba que para p>1 esta topología
coincide con la débil del espacio L^{p}(m). La importancia de
este resultado radica en que, al no conocerse una representación
concreta del dual del espacio L^{p}(m), es muy interesante
describir la convergencia débil en términos de la convergencia
débil de las integrales en el espacio de Banach X. La
m-topología corresponde a la convergencia fuerte de las
integrales en X, y puede coincidir en casos extremos con la
débil y con la fuerte de L^{p}(m). Se estudian sus propiedades,
en particular se dan condiciones para asegurar que un subconjunto
de L^{p}(m) sea m-compacto.

Estas topologías, en particular la m-débil, son útiles para la
descripción del predual del espacio L^{p}(m) en términos de
productos tensoriales. Esta construcción se describe de forma
detalla en el tercer capítulo de la memoria de la tesis. Cabe
destacar de éste un resultado que caracteriza aquellos operadores
definidos en L^{p}(m) con rango en X que se pueden escribir
como una integral. Aunque sin duda el resultado más relevante es
el que, bajo cierta hipótesis de compacidad de la bola unidad
(equivalente a la reflexividad del espacio L^{p}(m)) ofrece una
representación de L^{p}(m) como el dual del producto tensorial
L^{q}(m)\otimes X^{*}, dotado de una norma. Este resultado es
clave para obtener una generalización de los resultados de
dualidad para los espacios clásicos de funciones p-integrables.

La m-topología permite definir un concepto de sumabilidad en
L^{p}(m) basada en la dualidad vectorial, los llamados
operadores m-r-sumantes definidos en espacios de funciones
integrables con respecto a una medida vectorial, que se estudian
en el cuarto capítulo. Esta definición generaliza la sumabilidad
clásica. Se estudian las propiedades de estos operadores, y se
presentan ejemplos que ponen de manifiesto su interés. En la misma
línea que en la teoría clásica, obtenemos teoremas de dominación y
de factorización. La última sección de este capítulo está dedicada
a la descripción de estos espacios de operadores como el dual de
un espacio vectorial, extendiendo así la teoría clásica de
Groethendieck, para el caso de operadores definidos en espacios
L^{p}(m).

En el último capítulo de la memoria, las técnicas de la dualidad
vectorial se aplican a los espacios de Orlicz respecto a una
medida vectorial, L^{\Phi}(m), que generalizan a los L^{p}(m).
Se estudian propiedades de los espacios de Orlicz vectoriales y
bajo la condición Delta_{2} para la función de Young, se
caracterizan el espacio de multiplicadores entre L^{\Phi}(m) y
L^{1}(m). Como una aplicación de estos resultados, se
caracterizan aquellos operadores que factorizan a través de un
espacio de Orlicz vectorial.