Aquesta tesi té com a objetiu principal l'estudi de la dualitat vectorial entre
els espais L^{p}(m) i L^{q}(m) de funcions integrables
respecte a una mesura vectorial amb valors en un espai de Banach
X, amb p,q >1 exponents reals conjugats. La clau de la
dualitat és la definició d'una forma bilineal Phi:L^{p}(m)\times
L^{q}(m)\rightarrow X donada per l'operador integració, que a
cada parell (f,g) en L^{p}(m)\times L^{q}(m) li associa
\int_{\Omega}fg dm. Mitjançant aquesta forma bilineal es
defineixen dues topologies intermitges per a l'espai L^{p}(m).
La més dèbil és la topología m-dèbil, que correspon a la
topologia de la convergència dèbil de les integrals. A banda
d'estudiar les seues propietats, provem que per a p>1 aquesta
topologia coincideix amb la dèbil de l'espai L^{p}(m). La
importància d'aquest resultat es basa en el fet que, com que no es
coneix una representació concreta del dual de l'espai L^{p}(m),
és molt interessant descriure la convergència dèbil en termes de
la convergència dèbil de les integrals en l'espai de Banach X.
L' m-topologia correspon a la convergència forta de las
integrals en X, i pot coincidir en casos extrems amb la dèbil y
amb la forta de L^{p}(m). Estudiem les seues propietats i en
particular, donem condicions suficients perquè un subconjunt de
L^{p}(m) siga m-compacte.

Aquestes topologies, en particular l' m-débil, són útils per a
la descripció de l'espai predual de l'espai L^{p}(m) en termes
de productes tensorials. Aquesta construcció es descriu de forma
detallada en el tercer capítol d' aquesta memòria. Hem de destacar
d'aquest capítol un resultat que caracteritza aquells operadors
definits a L^{p}(m) amb rang en X que es poden escriure com
una integral. Tanmateix, el resultat més rellevant és el que, sota
certa hipòtesi de compacitat de la bola unitat (equivalent a la
reflexivitat de l'espai L^{p}(m)), ens dóna una representació
de L^{p}(m) com al dual del producte tensorial L^{q}(m)\otimes
X^{*} dotat de certa norma. Aquest resultat és clau per a obtenir
una generalització dels resultats de dualitat per als espais
clàssics de funcions p-integrables.

L' m-topologia permet definir un concepte de sumabilitat a
L^{p}(m) basada en la dualitat vectorial. Als operadors
corresponents els anomenem operadors m-r-sumants definits en
espais de funcions integrables respecte a una mesura vectorial i
els estudiem al quart capítol.  Aquesta definició generalitza la
sumabilitat clàssica. Estudiem les propietats d'aquests
operadors i presentem exemples que posen de manifest el seu
interés. En la mateixa línia que en la teoria clàssica, obtenem
teoremes de dominació i de factorizació. L'última secció d'aquest
capítol està dedicada a la descripció d'aquests espais d'operadors
com al dual d'un espai vectorial, extenent així la teoria clàssica
de Groethendieck per al cas d'operadors definits en espais
L^{p}(m).

En l'últim capítol de la memòria, les tècniques de la dualitat
vectorial s'apliquen als espais d'Orlicz respecte a una mesura
vectorial, L^{\Phi}(m), que generalitzaran als espais
L^{p}(m). Estudiarem propietats dels espais d'Orlicz vectorials
i sota la condició Delta_{2} per a la funció de Young,
caracteritzarem l'espai de multiplicadors entre L^{\Phi}(m) i
L^{1}(m). Com a aplicació d'aquests resultats, caracteritzem
aquells operadors que factorizen a través d'un espai d'Orlicz
vectorial.