El Método de los Elementos Finitos (MEF) se ha afianzado durante las últimas décadas como una de las técnicas numéricas más utilizadas para resolver una gran variedad de problemas en diferentes áreas de la ingeniería, como por ejemplo, el análisis estructural, análisis térmicos, de fluidos, procesos de fabricación, etc. Una de las aplicaciones donde el método resulta de mayor interés es en el análisis de problemas propios de la Mecánica de la Fractura, facilitando el estudio y evaluación de la integridad estructural de componentes mecánicos, la fiabilidad, y la detección y control de grietas.

Recientemente, el desarrollo de nuevas técnicas como el Método Extendido de los Elementos Finitos (XFEM) ha permitido aumentar aún más el potencial del MEF. Dichas técnicas mejoran la descripción de problemas con singularidades, con discontinuidades, etc., mediante la adición de funciones especiales que enriquecen el espacio de la aproximación convencional de elementos finitos.  

Sin embargo, siempre que se aproxima un problema mediante técnicas numéricas, la solución obtenida presenta discrepancias con respecto al sistema que representa. En las técnicas basadas en la representación discreta del dominio mediante elementos finitos (MEF, XFEM, ...) interesa controlar el denominado error de discretización. En la literatura se pueden encontrar numerosas referencias a técnicas que permiten cuantificar el error en formulaciones convencionales de elementos finitos. No obstante, por ser el XFEM un método relativamente reciente, aún no se han desarrollado suficientemente las técnicas de estimación del error para aproximaciones enriquecidas de elementos finitos.

El objetivo de esta Tesis es cuantificar el error de discretización cuando se utilizan aproximaciones enriquecidas del tipo XFEM para representar problemas propios de la Mecánica de la Fractura Elástico Lineal (MFEL), como es el caso del modelado de una grieta. En este sentido, se propone el desarrollo de un estimador del error a posteriori basado en la reconstrucción de la solución de elementos finitos, el cual ha sido especialmente adaptado a aproximaciones de XFEM. Para la evaluación del campo reconstruido se ha utilizado una técnica de reconstrucción que puede ser considerada como una extensión de la técnica Superconvergent Patch Recovery (SPR) a formulaciones con elementos enriquecidos.

Por otra parte, los estimadores de error pueden subestimar o sobrestimar el error exacto en norma energética. No obstante, en la práctica resulta de mayor interés poder garantizar que se ha alcanzado cierto nivel de precisión, por lo que resulta útil acotar el error de manera que se establezca un criterio de seguridad para aceptar la solución de EF. Por esta razón, en esta Tesis se propone una técnica de evaluación de cotas superiores del error adaptada a XFEM, la cual está basada en la reconstrucción de la solución, y en la evaluación de los defectos introducidos en el equilibrio al forzar la continuidad del campo reconstruido.

La técnica de estimación del error y la técnica de obtención de cotas superiores del error han sido verificadas mediante ejemplos numéricos con solución de referencia conocida. Los resultados obtenidos indican una alta precisión en la estimación y acotación del error.