Resumen

En el año 1960 Komatsu introdujo ciertas clases de funciones infinitamente derivables definidas
mediante estimaciones del crecimiento de los sucesivos iterados de un
operador en derivadas parciales cuando estudiaba propiedades de regularidad
de las soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales.
Esta línea de investigación ha sido muy activa hasta la actualidad a través
de los trabajos de muchos autores. Destacamos, entre otros, Bolley, Camus,
Kotake, Langenbruch, Métivier, Narasimhan, Newberger, Rodino,
Zanghirati y Zielezny. Toda esta bibliografía involucra el llamado problema
de los iterados que consiste, grosso modo, en caracterizar las funciones
de una cierta clase en términos del comportamiento de los iterados
de un operador previamente fijado.
En la primera parte de esta tesis seguimos con la investigación mencionada
antes en un contexto más general: clases no casi analíticas de
funciones ultradiferenciables en el sentido de Braun, Meise y Taylor. El
estudio de estas clases no casi analíticas es una área de investigación muy
activa debido a sus aplicaciones a la teoría de operadores en derivadas
parciales: destacamos entre otros el trabajo de Bonet, Braun, Domanski,
Fernández, Frerick, Galbis, Taylor y Vogt. En el Capítulo 1 introducimos
estas clases y enunciamos las propiedados que utilizaremos a lo largo de
esta tesis.
En el Capítulo 2 definimos las clases no casi analíticas con respecto a
los iterados de un operador en derivadas parciales P(D) y estudiamos sus
propiedades topológicas como la completitud y la nuclearidad. En particular,
demostramos que estas clases son un espacio localmente convexo
completo si y sólo si el operador P(D) es hipoelíptico y vemos que en tal
caso son además un espacio nuclear. A continuación, demostramos que
estas clases verifican un teorema de tipo Paley-Wiener.
En el Capítulo 3 tenemos como objetivo obtener resultados sobre el
problema de los iterados en clases no casi analíticas. Generalizamos varios
resultados de Newberger, Zielezny, Métivier y Komatsu y damos caracterizaciones
de cuándo una clase no casi analítica definida en términos de
los iterados de un operador coincide con una clase no casi analítica según
Braun, Meise y Taylor.
Toda la investigación que se había hecho sobre espacios de funciones
definidos por iterados de operadores se había centrado en clases de tipo
Roumieu. Sin embargo, demostramos que los resultados dados en los
Capítulos 2 y 3 también son válidos para clases de tipo Beurling.
En el año 1990, Langenbruch y Voigt demostraron que todo espacio de
Fréchet formado por distribuciones que sea invariante bajo la acción de un
operador hipoelíptico está continuamente incluido en el espacio de las funciones infinitamente derivables. En el capítulo 4
introducimos los operadores ultradiferenciales e investigamos extensiones
del resultado de Langenbruch y Voigt al contexto ultradiferenciable. El
nuevo concepto de espacio de Fréchet (w, P(D))-estable involucra a los
iterados de P(D) mediante una condición de equicontinuidad y nos permite
mostrar la relación de este tipo de resultados con el problema de los
iterados.
La segunda parte de esta tesis se centra en el estudio de funciones con
valores vectoriales en un espacio localmente convexo. Motivados por investigaciones
previas de Bonet, Domanski, Komatsu, Kriegl, Michor, Rainer
y Schwartz, en el Capítulo 5 damos varias definiciones de función ultradiferenciable
con valores vectoriales y demostramos que cada función
débilmente ultradiferenciable con valores en un espacio de Fréchet E es
fuertemente ultradiferenciable si y sólo si E tiene la propiedad (DN) de
Vogt. De este modo, resolvemos un problema propuesto por Kriegl y Michor
en un congreso celebrado en Paderborn (Alemania) en noviembre del
año 2008.