Universitat Politècnica de València, València, Espanya
    Universitat Nacional al-Farabi del Kazakhstan, Almaty, Kazakhstan
    Abdiadil Askaruly
    Investigació de les propietats dinàmiques de plasmes no ideals d’un component mitjançant el mètode de moments
    Per a obtenir el títol de Doctor en Matemàtiques
    a la Universitat Politècnica de València
Directors: I. M. Tkachenko Górski, Iu. V. Arkhipov

     RESUM DE LA TESI
     
     Les característiques dinàmiques dels plasmes d’un component fortament acoblats s’estudien mitjançant el mètode de moments amb restriccions locals usant un algorisme similar al de Schur. També hem analitzat els resultats d’algunes simulacions de plasmes de dos components basant-nos en les regles de sumes i altres relacions exactes. 
     Un dels problemes principals de la física de plasmes és obtenir l’expressió per a la funció dielèctrica i poder descriure així els efectes d’apantallament, les relacions de dispersió i altres característiques dinàmiques com són la conductivitat, la reflectivitat, etc. La funció dielèctrica es pot derivar de la teoria de resposta lineal [1] usant els mètodes de la teoria cinètica o de la hidrodinàmica [2] i mitjançant el desenvolupament pertorbatiu de la fórmula de Kubo [3]. D’altra banda, la funció dielèctrica es pot deduir a partir del mètode de moments [4]. Els mètodes esmentats són aplicables fonamentalment en un rang limitat de variació dels paràmetres de plasma, en què es pot usar algun enfocament pertorbatiu. Dins del mètode de moments no hi ha aquestes limitacions [5, 6], la qual cosa permet reconstruir qualsevol funció de la classe de Nevanlinna pels moments de potència convergents. En física, d’aquestes funcions se’n diu funcions de resposta, ja que, a causa del principi de causalitat, satisfan les relacions de Kramers-Kronig; per exemple, la funció dielèctrica inversa. 
     Altres característiques dinàmiques, com és el factor d’estructura dinàmic relacionat mitjançant el teorema de fluctuació-dissipació amb la part imaginària de la funció dielèctrica inversa, poden extraure’s de dades experimentals [7]. Per tant, des dels punts de vista pràctic i matemàtic, l’estudi del factor d’estructura dinàmic és important.
     Hi ha diversos enfocaments de la investigació del factor d’estructura dinàmic. Més enllà dels mètodes experimentals i teòrics, s’hi poden aplicar unes tècniques de simulació basades en els principis fonamentals de la mecànica i la física estadística. Els resultats del treball innovador [8] estan d’acord amb les dades modernes [9]. 
     En aquesta tesi modelem el factor d’estructura dinàmic pels tres primers termes del seu desenvolupament asimptòtic corresponent a les altes freqüències i els valors en uns pocs punts d’interpolació en l’eix real de freqüència. Això converteix el factor d’estructura dinàmic en una funció no racional l’extensió de la qual al semiplà superior de la freqüència complexa és holomorfa amb la seua part imaginària no negativa. El paràmetre lliure de l’algorisme del tipus de Schur [10] de la funció de model no racional s’obté pel procediment de maximització de l’entropia de Shannon. Els resultats automàticament no sols satisfan les regles de sumes (els moments de potència) i altres relacions exactes sinó que, a més, fan una interpolació entre les freqüències preescollides. S’aconsegueix un acord amb les dades de simulació accessibles sobre les propietats dinàmiques de plasmes. El mètode permet tenir en compte els processos de dissipació d’energia, així que els resultats dels enfocaments teòrics alternatius són inclosos en l’esquema de moments i es complementen. Es pot aplicar l’algorisme en un entorn més ampli.
     A més a més, apliquem les regles de sumes i altres relacions exactes a l’anàlisi de les dades sobre el factor d’estructura dinàmic càrrega-càrrega obtingudes per la modelització numèrica clàssica dels plasmes de dos components en [11] i en [12]. Els moments de potència convergents de la part imaginària de la funció dielèctrica inversa d’aquest sistema modelat s’expressen en termes dels factors d’estructura estàtics calculats pel mètode de les cadenes entrellaçades usant el potencial de tipus de Deutsch i altres potencials efectius similars. El caràcter del comportament asimptòtic per a freqüències altes s’especifica per a incloure-hi els efectes de la radiació de frenada (Bremsstrahlung) inversa. 
     Finalment, apliquem l’enfocament per a modelar les propietats òptiques de plasmes moderadament acoblats. Basant-nos en les desigualtats de Hölder, estudiem la monotonicitat característica per al model de Drude-Lorentz clàssic. I finalment, comparem el mètode de moments amb el mètode clàssic de les fraccions contínues. 
     
     Bibliografia
     
1. Yu.V. Arkhipov, F.B. Bayimbetov, A.E. Davletov, K.V. Starikov, Pseudopotential theory of dense high-temperature plasma (Kazakh University, Almaty, 2002) in Russian. 
2. S.  Ichimaru, Statistical Plasma Physics: Condensed Plasmas (Addison-Wesley, New York, 1994) Vol. 1,2.
3. G. Mahan, Many-Particle Physics (Plenum, New York, 1981).
4. Yu.V. Arkhipov, A. Askaruly, D. Ballester, A.E. Davletov, I.M. Tkachenko, G. Zwicknagel, Phys. Rev. E 76, 026403, 2007.
5. M.G. Krein, A.A. Nudel'man, The Markov moment problem and extremal problems, Trans. of Math. Monographs, 50, Amer. Math. Soc.,Providence, R.I.,1977.
6. N.I. Akhiezer, The Classical Moment Problem, Hafner Publishing Company, N.Y., 1965.
7. S.H. Glenzer,  R. Redmer, Rev.Mod.Phys. 81, 1625, 2009.
8. J.-P. Hansen, I. R. McDonald, E.L. Pollock, Phys. Rev. A. 11, 1025, 1975..
9. A. Wierling, T. Pschiwul, G. Zwicknagel, Physics of Plasmas, 9 (12), 4871, 2002.
10. V.M. Alcober, I.M. Tkachenko, M. Urrea, Construction of solutions of the Hamburger-Löwner interpolation problem for Nevanlinna class functions, In: Integral Methods in Science and Engineering, Volume 2, Computational Methods, Edited by C. Constanda, Mª. Eugenia Pérez, Ch. 2, pp. 11–20, 2009, Birkhäuser Verlag, Basel, Switzerland.
11. J.-P. Hansen, I.R. McDonald, Phys. Rev. A., 23, 2041, 1981.
12. G. Zwicknagel, Th. Pschiwul, Contrib. Plasma Phys., 43, No. 5-6, 393, 2003.