Resolución de ecuaciones de convección-difusión en 2D usando el método de las diferencias finitas compactas

Abstract

[ES] Para el cálculo numérico de ecuaciones en derivadas parciales se han ido desarrollando múltiples métodos a los largo de los años. Las diferencias finitas compactas (CFD, Lele 1990) surgen como una actualización de las diferencias finitas y los esquemas interpolantes de Padé. Mediante el uso de moléculas en la derivada y en la función se consiguen fórmulas para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales de orden muy alto con relativamente pocos puntos y en forma de matrices dispersas. Por otro lado, en ingeniería, para el estudio de la aerodinámica alrededor de objetos sólidos se han usado desde hace más de 100 años los túneles de viento, con esto se han conseguido grandes avances en la aerodinámica y las disciplinas de la ingeniería aeronáutica pero a menudo limitados por el volumen del túnel y la velocidad del aire que podría entregarse, además del coste que implica la construcción de un túnel del tamaño adecuado a la dimensión del sólido y la maqueta que se quiere analizar. Este proyecto está relacionado con un código en desarrollo en el IUMPA que pretende realizar simulaciones numéricas directas de objetos de túneles de viento virtuales mediante la técnica de Inmerse Boundary Conditions. Esto requiere técnicas computacionales extremadamente fiables y rápidas. Aunque el método CFD ha sido muy usado en problemas 1D, no se ha usado en 2D por motivos de sobre o sub determinación en los coeficientes de moléculas de dos dimensiones. En este TFM planteamos la posibilidad de hacer problemas 3D mediante el uso combinado de CFD en dos direcciones junto con un método de Fourier en la tercera, para así poder recrear el método de resolución comentado anteriormente.

[EN] For the numerical calculation of partial diferential equations, several methods have been developed over the years. The compact nite di erences (CFD, Lele 1990) arise as an update of the nite di erences and interpolating Padé schemes. By using molecules in the derivative and in the function, formulas for solving equations in partial derivatives of very high order with relatively few points and in the form of dispersed matrices are achieved. On the other hand, in engineering, for the study of aerodynamics around solid objects, wind tunnels have been used for more than 100 years, with this great advances have been achieved in aerodynamics and aeronautical engineering disciplines but to often limited by the volume of the tunnel and the speed of the air that could be delivered, in addition to the cost involved in the construction of a tunnel of adequate size to the size of the solid and the model to be analyzed. This project is related to a code under development at IUMPA that aims to perform direct numerical simulations of virtual wind tunnel objects using the Inmerse Boundary Conditions technique. This requires extremely reliable and fast computational techniques. Although the CFD method has been widely used in 1D problems, it has not been used in 2D for reasons of over or under determination in the coe cients of two-dimensional molecules. In this TFM we propose the possibility of 3D problems through the combined use of CFD in two directions and together with a Fourier method in the third, in order to recreate the resolution method discussed above.

[CA] Per al càlcul numèric décuacions en derivades parcials s'han desenvolupat múltiples mètodes al llarg dels anys, les diferències finites compactes (CFD, Lele 1990) sorgeixen com una actualització de les diferències finites i els esquemes interpolants de Padé. Mitjançant l'ús de molècules en la derivada i en la funció sáconsegueixen fórmules per a la resolució déquacions en derivades parcials dórdre molt alt amb relativament pocs punts i en forma de matrius disperses. Dáltra banda, en ingenyeria, per a léstudi de láerodinàmica al voltant dóbjectes sòlids s'han usat desde fa més de 100 anys els túnes de vent, amb aixoà s'han aconseguit grans avanços en láerodinàmica i les disciplines de lénginyeria aeronàutica perà sovint limitats pel volum del túnel i la velocitat de láire que podria entregar-se, a més del cost que implica la construcció dún túnel de la grandària adequada a la dimensió del sòlid i la maqueta que es vol analitzar. Aquest projecte està relacionat amb un codi en desenvolupament en el IUMPA que pretén realitzr simulacions numèiques directes dóbjectes de túnels de vent virtuals mitjançant la tècnica de Inmerse Boundary Conditions. Això requereix tècniques computacionals extremadament fiables i ràpides. Encara que el mètodo CFD ha sigut molt usat en problemes 1D, no s`ha usat en 2D per motius de sobre o sub determinació en els coeficients de moloècules de dues dimensions. En aquest TFM plantegem la possibilitat de fer problemes 3D mitjançant l'ús combinat de CFD en dues direccions conjuntament amb un mètode de Fourier per a la tercera, per a així poder recrear el mètode de resolució comentat anteriorment.