Diferencias finitas para problemas de valor inicial no lineal

Abstract

[ES] En este trabajo se hace un estudio sobre como resolver los muy conocidos problemas de valor inicial en su caso no lineal, mediante el método de diferencias finitas y métodos iterativos que resuelvan el sistema no lineal resultante. El método de diferencias finitas resuelve problemas de valor en la frontera, transformándolo en un sistema de ecuaciones, debido a que se va a trabajar con problemas no lineales, el sistema en mención también lo será. Frecuentemente se recomienda utilizar el método de Newton para resolver los sistemas no lineales, pero además de ello, en este trabajo se van resolver con una nueva familia de métodos multipaso uniparamétrica. En el Capítulo 2, se van a detallar los conceptos previos acerca de los métodos iterativos, convergencia y eficiencia, herramientas para el estudio dinámico y un planteamiento general de como aplicar diferencias finitas a un problema de valor inicial. Como se indicó anteriormente, el sistema de ecuaciones no lineal se va ha resolver mediante una nueva familia; la construcción de esta familia llamada ACTV es una variante del método diseñado por Artidiello y col., su desarrollo y convergencia serán estudiados en el Capítulo 3; primero en ecuaciones no lineales para luego extenderlo a sistemas de ecuaciones. En el capitulo 4 se va a realizar un estudio dinámico complejo de la familia construida, para observar su comportamiento mediante un análisis de puntos fijos y puntos críticos, elaborando así planos de parámetros y planos dinámicos para determinar las zonas de estabilidad.

[EN] A study is made on how to solve the well-known non-linear initial value problems, by means of the finite difference method and iterative methods that solve the resulting nonlinear system. The finite difference method solves value problems at the boundary, transforming it into a system of equations. We are going to work with non-linear problems, due to thet the system in question will be non-linear too. It is often recommended to use Newton's method to solve the systems non-linear, but in addition to that, in this work they will be solved with a new family of single-parameter multistep methods. In Chapter 2, we will detail the previous concepts about the methods iterative, convergence and efficiency, tools for the dynamic study and a general approach of how to apply finite differences to an initial value problem. As indicated above, the nonlinear system of equations will be solved through a new family; the construction of this family called ACTV is a variant of the method designed by Artidiello et al., its development and convergence they will be studied in Chapter 3; first in nonlinear equations and then extend it to systems of equations. In Chapter 4, a complex dynamic study of the constructed family will be carried out, to observe its behavior through an analysis of fixed points and points critical, thus developing parameter planes and dynamic planes to determine the stability zones.