|
Resumen:
|
In the first part, new bounds for the number of conjugacy classes of maximal length of a finite $p$-group $G$, $r(G)$, are obtained, and they are related with the length of these classes. If $r(G)=p^m-b-1$, there exists a ...[+]
In the first part, new bounds for the number of conjugacy classes of maximal length of a finite $p$-group $G$, $r(G)$, are obtained, and they are related with the length of these classes. If $r(G)=p^m-b-1$, there exists a unique normal subgroup of order $p^b$, $N_b$, which is characteristic, and structural properties of these groups are studied when $b\le 3$, by paying special attention to the relation between $N_b$, $Z(G)$ and $G$. In the second part, new bounds for the degree of commutativity of a $p$-group of maximal class are established. In Chapter 2, the bounds known for $c$ are reviewed. In Chapter 3, the reuslts obtained by Shepherd for $c_0\le 4$ are extended to $c_0\le 10$ by means of the development of new computational techniques. In Chapter 4, we present some tables which give the bounds for $c$ as a function of $c_0$ and $l$ for $p\le 3$, obtained with the help of the mentioned computational techniques, and the finest possible bounds for $c$ for the majority of the values of $c_0$ and $l$ and every prime $p$ are conjectured. The majority of these conjectures are solved, and hence the bounds given by Shepherd, Leedham-Green and McKay, and Fernández-Alcober are improved. It is also shown the optimality of these bounds by means of the construction of the Lie algebras for which these bounds are attained.
[-]
En la primera part s'obtenen noves fites per al nombre de classes de conjugació de longitud màxima d'un $p$-grup finit $G$, $r(G)$, relacionant-lo amb la longitud d'aquestes classes, $b$. En el cas en el qual $r(G)=p^m-b-1$, ...[+]
En la primera part s'obtenen noves fites per al nombre de classes de conjugació de longitud màxima d'un $p$-grup finit $G$, $r(G)$, relacionant-lo amb la longitud d'aquestes classes, $b$. En el cas en el qual $r(G)=p^m-b-1$, existeix un únic subgrup normal d'ordre $p^b$, $N_b$, que és característic, i s'estudien propietats estructurals d'aquests grups quan $b\le 3$, parant especial atenció a la relació entre $N_b$, $Z(G)$ i $G$. En la segona part s'estableixen noves fites per al grau de commutativitat $c$ d'un $p$-grup de classe maximal. En el capítol 2 es fa un repàs de les fites conegudes per a $c$. En el capítol 3 s'estenen els resultats obtinguts per Shepherd per a $c_0\le 4$ fins a $c_0\le 10$ mitjançant el desenvolupament de noves tècniques computacionals. En el capítol 4 es presenten quadres que dónen les fites per a $c$ en funció de $c_0$ i $l$ per a $p\le 43$, obtingudes amb l'ajut de dites tècniques computacionals, i es conjecturen les cotes més fines possibles per a $c$ per a la major part dels valors de $c_0$ i $l$ i per a qualsevol primer $p$. Es resolen la majoria d'aquestes conjectures, millorant d'aquesta manera les fites donades per Shepherd, Leedham-Green i McKay i Fernández Alcober. Es mostra també l'optimalitat d'aquestes fites mitjançant la construcció de les àlgebres de Lie per a les quals s'assoleixen les fites.
[-]
En la primera parte se obtienen nuevas cotas para el número de clases de conjugación de longitud máxima de un $p$-grupo finito $G$, $r(G)$, relacionándolo con la longitud de estas clases, $b$. En el caso en que $r(G)=p^m-b-1$, ...[+]
En la primera parte se obtienen nuevas cotas para el número de clases de conjugación de longitud máxima de un $p$-grupo finito $G$, $r(G)$, relacionándolo con la longitud de estas clases, $b$. En el caso en que $r(G)=p^m-b-1$, existe un único subgrupo normal de orden $p^b$, $N_b$, que es característico y se estudian propiedades estructurales de estos grupos cuando $b\le 3$, prestando atención especial a la relación entre $N_b$, $Z(G)$ y $G$. En la seguna parte se establecen nuevas cotas para el grado de conmutatividad $c$ de un $p$-grupo de clase maxdimal. En el capítulo 2 se hace un repaso de las cotas conocidas para $c$. En el capítulo 3 se extienden los resultados obtenidos por Shepherd para $c_0\le 4$ hasta $c_0\le 10$ mediante el desarrollo de nuevas técnicas computacionales. En el capítulo 4 se presentan tablas que dan las cotas para $c$ en función de $c_0$ y $l$ para $p\le 43$, obtenidas con la ayuda de dichas técnicas computacionales, y se conjeturan las cotas más finas posibles para $c$ para la mayor parte de los valores de $c_0$ y $l$ y para cualquier primo $p$. Se resuelven la mayoría de dichas conjeturas, mejorando de esta manera las cotas dadas por Shepherd, Leedham-Green y McKay y Fernández Alcober. Se muestra también la optimalidad de dichas cotas mediante la construcción de las álgebras de Lie para las que se alcanzan las cotas.
[-]
|
Esteban Romero, Ramón
