Extensión de funciones $\phi-$Lipschitz y aplicaciones

Abstract

[ES] Los teoremas clásicos de extensión de funciones reales de Lipschitz, debidos a McShane y Whitney, han encontrado numerosas aplicaciones en muchos campos, como la economía, el análisis matemático y, recientemente, en el campo de la inteligencia artificial. Estos teoremas pueden generalizarse en varias direcciones, ampliando la clase de funciones a las que pueden aplicarse, o debilitando las condiciones métricas. En todos los casos, permiten extender funciones definidas sobre subespacios métricos a todo el espacio, preservando la constante de Lipschitz.

En este trabajo se introduce una función creciente, positiva y subaditiva $\phi$ que, al componerse con la métrica, da otra función con propiedades similares a la métrica original. En el espacio resultante se pueden definir funciones tipo Katetov a partir de la misma función métrica, que son Lipschitz y que además pueden satisfacer ciertas condiciones adicionales. Recientemente, y con la intención de proporcionar una base funcional para la definición de índices numéricos en distintas disciplinas (economía, prospectiva, demografía, etc.), se ha introducido la noción de espacio de índices. Los índices son funciones reales de Lipschitz, siendo las referidas funciones de Katetov ejemplos canónicos.

Los resultados de este trabajo generalizan los resultados conocidos para índices de Lipschitz al caso de índices $\phi-$Lipschitz sobre extensión de compacidad del conjunto de los índices estándar correspondientes, así como las propiedades de aproximación que permiten trabajar con esta base funcional para el diseño de algoritmos de inteligencia artificial sobre modelos $\phi-$métricos.

[EN] The classical Lipschitz real function extension theorems, due to McShane and Whitney, have found numerous applications in many fields, such as economics, mathematical analysis, and recently, in the field of artificial intelligence. These theorems can be generalized in various directions, extending the class of functions to which they can be applied, or weakening the metric conditions. In all cases, it allows to extend functions defined on metric subspaces to the whole space, preserving the Lipschitz constant.

In this work an increasing, positive, subadditive function $\phi$ is introduced which, when composed with the metric, gives another function with properties similar to the original metric. In the resulting space, Katetov-type functions can be defined from the same metric function, which are Lipschitz and which can also satisfy certain additional conditions. Recently, and with the intention of providing a functional basis for the definition of numerical indices in different disciplines (economics, foresight, demography, etc.), the notion of index space has been introduced. The indices are real Lipschitz functions, the referred Katetov functions being canonical examples.

The results of this paper generalize the known results for Lipschitz indices to the case of $\phi-$Lipschitz indices on compactness extension of the set of the corresponding standard indices, as well as the approximation properties that make it possible to work with this functional basis for the design of artificial intelligence algorithms on $\phi-$metric models.