Ecuaciones en derivadas parciales en grafos con pesos

Abstract

[ES] Las ecuaciones en derivadas parciales en los grafos proporcionan el marco teórico bajo el que se desarrollan las aplicaciones más comunes de los grafos en prácticamente todas las áreas de la ciencia, desde el tratamiento de imágenes hasta la creación de algoritmos eficientes de machine learning. Por ello, es de gran interés estudiar estas ecuaciones y la base teórica de las mismas.

En este trabajo comenzaremos introduciendo las definiciones básicas de la teoría de grafos y los espacios iniciales donde trabajaremos a lo largo de la mayor parte del trabajo.

Posteriormente, introduciremos el Laplaciano de un grafo con pesos, y estudiaremos tanto el problema de Dirichlet de un grafo, como la relación del Laplaciano con la constante de Cheeger del grafo.

A continuación analizaremos la ecuación del calor de un grafo, probando la existencia y unicidad de soluciones en un determinado espacio y una expresión analítica de la misma; además, estudiaremos el comportamiento asintótico de esta solución a lo largo del tiempo.

Más tarde, definiremos la variación total de una función en un grafo y veremos sus principales propiedades. Esto nos permitirá estudiar una cierta ecuación asociada, la cual nos conducirá al estudio del 1-Laplaciano de un grafo, del que veremos propiedades y aplicaciones.

Por último, estudiaremos el modelo ROF de un grafo, usado en el tratamiento de imágenes, y veremos que este modelo tiene solución, además de que daremos una caracterización variacional de la misma. Por último, utilizaremos el método del descenso del gradiente para aproximar esta solución mediante las soluciones de un problema de Cauchy asociado.