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Abstract:
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El caos distribucional fue introducido por Schweizer y Smítal en [SS94] a partir de
la noción de caos de Li-Yorke con el fín de implicar la entropía topológica positiva
para aplicaciones del intervalo compacto en sí ...[+]
El caos distribucional fue introducido por Schweizer y Smítal en [SS94] a partir de
la noción de caos de Li-Yorke con el fín de implicar la entropía topológica positiva
para aplicaciones del intervalo compacto en sí mismo. El caos distribucional para
operadores fue estudiado por primera vez en [Opr06] y fue analizado en el contexto
lineal de dimensión infinita en [MGOP09].
El concepto de caos distribucional para un operador (semigrupo) consiste en la
existencia de un conjunto no numerable y un numero real positivo ¿ tal que para dos
elementos distintos cualesquiera del conjunto no numerable, tanto la densidad superior
del conjunto de iteraciones (tiempos) en las cuales la diferencia entre las órbitas de
dichos elementos es mayor que ¿, como la densidad superior del conjunto de iteraciones
(tiempos) en las cuales dicha diferencia es tan pequeña como se quiera, es igual a uno.
Esta tesis est'a dividida en seis capítulos. En el primero, hacemos un resumen del
estado actual de la teoría de la din'amica caótica para C0-semigrupos de operadores
lineales.
En el segundo capítulo, mostramos la equivalencia entre el caos distribucional de
un C0-semigrupo y el caos distribucional de cada uno de sus operadores no triviales.
Tambi'en caracterizamos el caos distribucional de un C0-semigrupo en t'erminos de la
existencia de un vector distribucionalmente irregular.
La noción de hiperciclicidad de un operador (semigrupo) consiste en la existencia de
un elemento cuya órbita por el operador (semigrupo) sea densa. Si adem'as el conjunto
de puntos periódicos es denso, diremos que el operador (semigrupo) es caótico en el
sentido de Devaney. Una de las herramientas mas útiles para comprobar si un operador
es hipercíclico es el Criterio de Hiperciclicidad, enunciado inicialmente por Kitai en
1982. En [BBMGP11], Bermúdez, Bonilla, Martínez-Gim'enez y Peris presentan elCriterio para Caos Distribucional (CDC en ingl'es) para operadores. Enunciamos y
probamos una versión del CDC para C0-semigrupos.
En el contexto de C0-semigrupos, Desch, Schappacher y Webb tambi'en estudiaron
en [DSW97] la hiperciclicidad y el caos de Devaney para C0-semigrupos, dando un
criterio para caos de Devaney basado en el espectro del generador in¿nitesimal del C0-
semigrupo. En el tercer capítulo, establecemos un criterio de existencia de una variedad
distribucionalmente irregular densa (DDIM en sus siglas en ingl'es) en t'erminos del
espectro del generador in¿nitesimal del C0-semigrupo.
En el Capítulo 4, se dan algunas condiciones su¿cientes para que el C0-semigrupo de
traslación en espacios L
p ponderados sea distribucionalmente caótico en función de la
función peso admisible. Ademas, establecemos una analogía completa entre el estudio
del caos distribucional para el C0-semigrupo de traslación y para los operadores de
desplazamiento hacia atras o ¿backward shifts¿ en espacios ponderados de sucesiones.
El capítulo quinto está dedicado al estudio de la existencia de C0-semigrupos para
los cuales todo vector no nulo es un vector distribucionalmente irregular. Tambi'en
damos un ejemplo de uno de dichos C0-semigrupos que además no es hipercíclico.
En el Capítulo 6, el criterio DDIM se aplica a varios ejemplos de C0-semigrupos.
Algunos de ellos siendo los semigrupos de solución de ecuaciones en derivadas parciales, como la ecuación hiperbólica de transferencia de calor o la ecuación de von
Foerster-Lasota y otros son la solución de un sistema in¿nito de ecuaciones diferenciales ordinarias usado para modelizar la dinámica de una población de c'elulas bajo
proliferación y maduración simultáneas.
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