Iterates of differential operators and vector valued functions on non quasi analytic classes

Abstract

En el año 1960 Komatsu introdujo ciertas clases de funciones infinitamente derivables definidas mediante estimaciones del crecimiento de los sucesivos iterados de un operador en derivadas parciales cuando estudiaba propiedades de regularidad de las soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. Esta línea de investigación ha sido muy activa hasta la actualidad a través de los trabajos de muchos autores. Destacamos, entre otros, Bolley, Camus, Kotake, Langenbruch, Métivier, Narasimhan, Newberger, Rodino, Zanghirati y Zielezny. Toda esta bibliografía involucra el llamado problema de los iterados que consiste, grosso modo, en caracterizar las funciones de una cierta clase en términos del comportamiento de los iterados de un operador previamente fijado. En la primera parte de esta tesis seguimos con la investigación mencionada antes en un contexto más general: clases no casi analíticas de funciones ultradiferenciables en el sentido de Braun, Meise y Taylor. El estudio de estas clases no casi analíticas es una área de investigación muy activa debido a sus aplicaciones a la teoría de operadores en derivadas parciales: destacamos entre otros el trabajo de Bonet, Braun, Domanski, Fernández, Frerick, Galbis, Taylor y Vogt. En el Capítulo 1 introducimos estas clases y enunciamos las propiedados que utilizaremos a lo largo de esta tesis. En el Capítulo 2 definimos las clases no casi analíticas con respecto a los iterados de un operador en derivadas parciales P(D) y estudiamos sus propiedades topológicas como la completitud y la nuclearidad. En particular, demostramos que estas clases son un espacio localmente convexo completo si y sólo si el operador P(D) es hipoelíptico y vemos que en tal caso son además un espacio nuclear. A continuación, demostramos que estas clases verifican un teorema de tipo Paley-Wiener. En el Capítulo 3 tenemos como objetivo obtener resultados sobre el problema de los iterados en clases no casi analíticas. Generalizamos varios resultados de Newberger, Zielezny, Métivier y Komatsu y damos caracterizaciones de cuándo una clase no casi analítica definida en términos de los iterados de un operador coincide con una clase no casi analítica según Braun, Meise y Taylor. Toda la investigación que se había hecho sobre espacios de funciones definidos por iterados de operadores se había centrado en clases de tipo Roumieu. Sin embargo, demostramos que los resultados dados en los Capítulos 2 y 3 también son válidos para clases de tipo Beurling. En el año 1990, Langenbruch y Voigt demostraron que todo espacio de Fréchet formado por distribuciones que sea invariante bajo la acción de un operador hipoelíptico está continuamente incluido en C¥. En el capítulo 4 introducimos los operadores ultradiferenciales e investigamos extensiones del resultado de Langenbruch y Voigt al contexto ultradiferenciable. El nuevo concepto de espacio de Fréchet (w, P(D))-estable involucra a los iterados de P(D) mediante una condición de equicontinuidad y nos permite mostrar la relación de este tipo de resultados con el problema de los iterados. La segunda parte de esta tesis se centra en el estudio de funciones con valores vectoriales en un espacio localmente convexo.