RESUM
La present memòria per a optar al grau de doctor s’enquadra en la línia
d’investigació de models matemàtics tèrmics del grup de modelització interdisciplinària
Intertech [8], [9]. En concret, este treball presenta uns models
matemàtics per a la transmissió de calor en el rectificat industrial pla [10], [11],
fent un extens ús de certes funcions especials de la Física- Matemàtica, com les
funcions hipergeomètriques, les funcions d’Hermite o les funcions de Bessel [12].
Començarem amb un capítol dedicat a deduir des de primers principis l’equació
de la calor amb convecció i la seua equivalència amb l’equació de la calor clàssica
davall una translació de coordenades [13]. Es veurà també com s’aplica esta
equació de la calor convecció a la modelització de la transmissió de calor en el
rectificat pla.
Es presentarà en el següent capítol el model de Jaeger [14], [15] del rectificat
pla. Este model pren com a font una banda lineal infinita mòbil que llisca per
la superfície de la peça rectificada. Les propietats de les funcions de Bessel
seran fonamentals per a donar una expressió analítica compacta del camp de
temperatures que s’obté en la peça [16], [17].
En el capítol següent es presentarà el model SV (Samara-Valencia) [18], [19],
del rectificat pla. Este model consistix en resoldre l’equació de la calor amb
convecció amb unes condicions de contorn variables en el temps i en l’espai.
Esta flexibilitat en les condicions de contorn farà que el model SV siga més
general que el de Jaeger, fent possible la modelització tant del rectificat amb
aplicació de fluid refrigerant, com de moles que produïsquen en la peça una
fricció intermitent. A més, permet obtindre el camp de temperatures no sols a
l’estat estacionari, sinó també en al transitori.
En el següent capítol es comparen els models SV i de Jaeger en a l’estat
estacionari per al cas del rectificat sec i fricció contínua. La solució del model
SV constarà de dos sumands, T (0) i T (1). En primer lloc, es deduirà l’equivalència
analítica de T (0) amb la solució de Jaeger per a un sòlid infinit. A partir d’esta
equivalència particularitzada en la superfície de la peça, s’oferirà la resolució
d’una integral impròpia que no es troba en les taules d’integrals usuals [20]. Es
comprovarà numèricament que els camps de temperatures donats per ambdues
solucions són compatibles dins de l’error numèric. En segon lloc, s’obtindrà una
expressió per a T (1), deduint-se que la temperatura en la superfície per a T (0)
i T (1) són equivalents. Per a això, s’obtindrà una representació de la delta de
Dirac que no es troba a les taules de fórmules matemàtiques més usuals [21]. A
partir de la unicitat de la solució del problema que resolen ambdós models [22],
es deduirà el càlcul d’una integral impròpia que no apareix tampoc a les taules
d’integrals habituals [20]. A continuació, es presentarà un mètode senzill i ràpid
per al càlcul de la temperatura màxima, que es troba en la superfície de la peça,
amb alguns resultats numèrics. Finalment, s’oferirà el camp de temperatures
calculat numèricament per al rectificat d’una peça d’aliatge de titani VT20 [23],
ix
[24], segons ambdós models. Comprovarem efectivament que el model SV i el
model de Jaeger són equivalents. Els programes en MATLAB utilitzats en esta
última secció es presentaran al final a manera d’apèndix.
En l’últim capítol s’oferiran dos tipus de resultats a partir del model SV:
l’estat transitori en el rectificat sec i la solució per al cas més simple del rectificat
amb aplicació de fluid refrigerant. Este últim cas suposarà un coeficient
de transmissió de calor del refrigerant constant sobre la superfície de la peça.
De les solucions obtingudes es conclourà que el rectificat anbrefrigerant és una
correcció al rectificat sec, proporcional al coeficient de transmissió de calor. A
continuació, es mostrarà un mètode per a obtindre el màxim de la temperatura
en el rectificat amb refrigerant estudiat; i així mateix, el temps que dura
l’estat transitori, amb i sense refrigerant. Finalment, es presentaran unes gràfiques
de l’evolució de la temperatura en la superfície de la peça, amb i sense
refrigerant; així com el camp de temperatures en el rectificat amb refrigerant
amb distints valors del coeficient de transmissió de calor. Per a l’obtenció de
totes estes gràfiques s’utilitzaran els mateixos paràmetres de rectificat que en
el capítol anterior i uns programes elaborats en MATLAB que es detallaran al
final a manera d’apèndix.