Mètriques fuzzy. Aplicacions al filtratge d’imatges
en color

Andrés López Crevillén


     Un dels problemes més importants en Topologia Fuzzy és obtindre un concepte adequat d’espai mètric fuzzy. Aquest problema ha sigut abordat per molts autors des de diferents tipus de vista. En particular, és de gran interés la noció de mètrica fuzzy sobre un conjunt que, amb l’ajuda de tnormes contínues, van introduir George i Veeramani. Al present treball hem continuat amb l’estudi dels espais mètrics fuzzy, hem aportat nous exemples que ens ajudaran a desenvolupar la teoria i hem tractat altres qüestions relacionades amb la convergència, la continuïtat i dos tipus de mètriques fuzzy anomenades principals i fortes.

     A la present tesi, aportem nous exemples de mètriques fuzzy i en alguns casos obtenim que les mètriques fuzzy més habituals en la literatura sobre el tema, són casos particulars de les que ací donem. Tractem també l’extensió de dues mètriques fuzzy estacionàries quan coincideixen en la intersecció de dos conjunts. També hem continuat amb l’estudi del concepte de p-convergència en espais mètrics fuzzy introduït per D. Mihet, estudiant alguns aspectes relatius a ell i donem una caracterització d’aquells espais mètrics fuzzy, que anomenem principals, on la família de les successions pconvergents coincideix amb la fam´?lia de les successions convergents. A més donem un exemple d’espai mètric fuzzy no completable i no principal.

     Definim el concepte d’aplicació t-contínua entre espais mètrics fuzzy, que és més fort que el de continuïtat i revisem algunes qüestions referents a aquest tipus d’aplicacions, obtenint com a resultat que si l’espai mètric fuzzy de partida és principal, llavors les aplicacions t-contínues coincideixen amb les aplicacions contínues.

     Pel que fa al capítol de mètriques fortes, estudiem una classe de mètriques fuzzy estacionàries que inclou la classe de les ultramètriques fuzzy estacionàries, que admet completació.

     Per últim, com que en treballs recents s’ha demostrat que les mètriques fuzzy són interessants per a problemes d’enginyeria i útils en una diversitat d’aplicacions, estudiem una aplicació d’aquestes mètriques al filtratge d’imatges digitals en color. El procés de filtratge d’una imatge consisteix en el reemplaçament dels píxels de la imatge sorollosa original per altres píxels lliures de soroll que es determinen mitjançant un procés que involucra l’ús d’una mètrica. En aquest context, usualment s’han utilitzat mètriques clàssiques i nosaltres estudiem l’ús de certes mètriques fuzzy. En una primera
aplicació utilitzem quatre mètriques fuzzy i comparem els resultats amb les mètriques clàssiques L2 i L?. En la segona aplicació, la mètrica fuzzy que utilitzem es defineix com un producte de dues mètriques fuzzy per a així combinar dos criteris de distància: proximitat espacial i similitud de les components de color RGB d’un píxel. Ambdues aplicacions revelen que les mètriques fuzzy són una eina prometedora per al processat d’imatges i, en general, per a problemes d’enginyeria.