L’any 1960 Komatsu va introduir certes classes de funcions infinitament derivables  definides
per estimacions del creixement dels successius iterats d’un operador en
derivades parcials quan estudiava propietats de regularitat de certes equacions
en derivades parcials. Aquesta línia d’investigació ha estat molt activa
fins a l’actualitat amb els treballs de molts autors: destaquem, entre
altres, Bolley, Camus, Kotake, Langenbruch, Métivier, Narasimhan,
Newberger, Rodino, Zanghirati i Zielezny. Tota aquesta bibliografia està
relacionada amb l’anomenat problema dels iterats que consisteix, parlant
sense presició, en caracteritzar les funcions d’una certa classe mitjançant
el comportament dels iterats d’un operador prèviament donat.
En la primera part d’aquesta tesi continuem la investigació descrita anteriorment
en un context més general: classes no quasi analítiques segons
la teoria de Braun, Meise i Taylor. L’estudi d’aquestes classes és actualment
una àrea d’investigació molt activa per les seues aplicacions a la teoria
d’operadors en derivades parcials: destaquem entre altres
el treball de Bonet, Braun, Domanski, Fernández, Frerick, Galbis, Taylor i
Vogt. En el Capítol 1 introduïm aquestes classes i enunciem les propietats
que utilitzarem al llarg d’aquesta tesi.
En el Capítol 2 definim les classes no quasi analítiques respecte dels iterats
d’un operador en derivades parcials P(D) i estudiem les seues propietats
topològiques com la completesa i la nuclearitat. En particular, demostrem
que estes classes són un espai localment convex complet si i sols
si P(D) és hipoel·líptic i veiem que en aquest cas són també un espai nuclear.
Tot seguit, provem per aquestes classes un teorema de tipus Paley-
Wiener.
El nostre objectiu en el Capítol 3 és donar resultats sobre el problema
dels iterats en classes no quasi analítiques. Així, generalitzem resultats
de Newberger, Zielezny, Métivier i Komatsu i donem caracteritzacions
perquè una classe no quasi analítica definida pels iterats d’un operador
coincidesca amb una classe no quasi analítica en el sentit de Braun, Meise
i Taylor.
Tota la investigació feta sobre espais de funcions definits per iterats
d’operadors s’havia centrat en classes de tipus Roumieu. Tanmateix, demostrem
que els resultats dels capítols 2 i 3 també són certs per a classes
de tipus Beurling.
En l’any 1990, Langenbruch i Voigt demostraren que tot espai de Fréchet
format per distribucions invariant sota l’acció d’un operador hipoel·líptic
està inclòs contínuament en l’espai de les funcions infinitament derivables. En el capítol 4 introduïm els operadors
ultradiferencials i investiguem extensions del resultat de Langenbruch i
Voigt al context ultradiferenciable. El nou concepte d’espai de Fréchet
(w, P(D))-estable imposa als iterats de l’operador P(D) una condició d’equicontinuitat
i ens permet mostrar la relació d’aquest tipus de resultats amb
el problema dels iterats.
La segona part d’aquesta tesi se centra en l’estudi de funcions vectorials
en un espai localment convex. Motivats per les investigacions anteriors
de Bonet, Domanski, Komatsu, Kriegl, Michor, Rainer i Schwartz, en
el Capítol 5 donem diverses definicions de funció ultradiferenciable amb
valors vectorials i demostrem que tota funció dèbilment ultradiferenciable
en valors en un espai de Fréchet E és fortament ultradiferenciable si i sols
si E té la propietat (DN) de Vogt. D’aquesta manera, resolem un problema
proposat per Kriegl i Michor en un congrés que va tindre lloc a Paderborn
(Alemanya) en novembre de l’any 2008.