Optimización del problema de valor propio inverso para matrices estructuradas

Abstract

Un área importante de la Matemática Aplicada es el Análisis Matricial dado que muchos problemas pueden reformularse en términos de matrices y de así facilitar su resolución. El problema de valor propio inverso consiste en la reconstrucción de una matriz a partir de datos espectrales dados. Este tipo de problemas se presenta en diferentes áreas de la ingeniería y surge en numerosas aplicaciones. En esta tesis se resuelve el problema de valor propio inverso para tres tipos específicos de matrices. Los problemas de valores propios inversos han sido estudiados tanto desde los puntos de vista teórico, numérico como del de las aplicaciones. Un problema de valor propio inverso adecuadamente planteado debe satisfacer restricciones referidas a los datos espectrales y a la estructura deseada. Dada una matriz X y una matriz diagonal D, se buscan soluciones de la ecuación AX = XD siendo A una matriz con una determinada estructura. A partir de estas restricciones sobre la matriz A surgen una variedad de problemas de valores propios inversos. El problema para el caso de una matriz A hermítica y reflexiva o antireflexiva con respecto a una matriz J tripotente y hermítica ha sido resuelto por L. Lebtahi y N. Thome. En el Capítulo 2 de esta memoria se extiende este trabajo al caso de una matriz A hermítica y reflexiva con respecto a una matriz J {k +1}-potente y normal. En el Teorema 2.2.1 se dan las condiciones bajo las cuales el problema tiene solución y se proporciona la forma explícita de la solución general. Además, si el conjunto de soluciones del problema de valor propio inverso es no vacío, se resuelve el problema de Procrustes asociado. Las matrices Hamiltonianas y antiHamiltonianas aparecen en la resolución de importantes problemas de la Teoría de Sistemas y Control. El problema de valor propio inverso para matrices hermíticas y Hamiltonianas generalizadas fue analizado por Z. Zhang, X. Hu y L. Zang. Más tarde, Z. Bai consideró el caso de matrices hermíticas y antiHamiltonianas generalizadas. En ambos casos se estudió el problema de valor propio inverso y el problema optimización. Una extensión de las matrices Hamiltonianas son las matrices J-Hamiltonianas, y corresponden a una de las aportaciones originales que se realizan en esta memoria. En los Capítulos 3 y 4 de esta tesis se estudian el problema de valor propio inverso para matrices normales J-Hamiltonianas y para normales J-antiHamiltonianas. Para la resolución del caso de las matrices normales y J-Hamiltonianas se presentan cuatro métodos diferentes. Los dos primeros métodos son generales, dan condiciones para que el problema tenga solución. El tercer método se formaliza en el Teorema 3.2.2 que proporciona las condiciones bajo las cuales el problema tiene solución y se presentan infinitas soluciones del mismo. Todas las soluciones se obtienen con el último método. El principal resultado se da en el Teorema 3.2.3. Una sección completa está dedicada a la resolución del problema de optimización de Procrustes asociado. La organización de esta tesis es la siguiente: Capítulo 1 contiene una introducción al problema de valor propio inverso y al problema de Procrustes. En el Capítulo 2 se estudia el problema de valor propio inverso para una matriz hermítica y reflexiva con respecto a una matriz normal {k + 1}-potente, así como también el problema de optimización de Procrustes asociado. Además, se propone un algoritmo que resuelve el problema de Procrustes y se da un ejemplo que muestra el funcionamiento del mismo. El problema de valor propio inverso para una matriz normal y J-Hamiltoniana se resuelve en el Capítulo 3 usando distintos métodos y además se considera el problema de optimización de Procrustes asociado. Se propone un algoritmo que sirve para calcular la solución del problema de optimización y se presentan algunos ejemplos. En el Capítulo 4, en base a los resultados obtenidos en el Capítulo 3, se aborda el problema

An important area of Applied Mathematics is Matrix Analysis due to the fact that many problems can be reformulated in terms of matrices and, in this way, their resolution is facilitated. The inverse eigenvalue problem consists of the reconstruction of a matrix from given spectral data. This type of problems occurs in different engineering areas and arises in numerous applications. In this thesis the inverse eigenvalue problem for three specific sets of matrices is solved. Inverse eigenvalue problems have been studied from theoretical and numerical points of view as well as from their applications. An inverse eigenvalue problem properly posed must satisfy constraints referring to the spectral data and to the desirable structure. Given a matrix X and a diagonal matrix D, solutions of the equation AX = XD are searched, where A is a matrix with a prescribed structure. Based on these restrictions on matrix A, a variety of inverse eigenvalue problems arise. L. Lebtahi and N. Thome solved the problem for the case of a matrix A hermitian and reflexive or antireflexive with respect to a matrix J tripotent and hermitian. In Chapter 2 of this tesis, the results are extended to the case of a matrix A hermitian and reflexive with respect to a matrix J {k+1}-potent and normal. Theorem 2.2.1 provides conditions under which the problem has a solution and the explicit form of the general solution is given. In addition, in case of the set of solutions of the inverse eigenvalue problem is not empty, the associated Procrustes problem is solved. Hamiltonian and skewHamiltonian matrices appear in the resolution of important problems of Systems and Control Theory. The inverse eigenvalue problem for hermitian and generalized Hamiltonian matrices was analyzed by Z. Zhang, X. Hu and L. Zang. Afterwards, the case of hermitian and skewHamiltonian generalized matrices by Z. Bai was considered. In both cases, the inverse eigenvalue problem and the best approximation problem were studied. An extension of the Hamiltonian matrices are the J-Hamiltonian matrices, and it is one of the original contributions of this work. In Chapters 3 and Chapter 4 of this thesis the inverse eigenvalue the respective problems for normal J-Hamiltonian matrices and for normal J-skewHamiltonian matrices are studied. For the resolution of the normal J-Hamiltonian matrices case, four methods are presented. The first two methods are general and they give conditions under which the problem is solvable. The third method is formalized in the Theorem 3.2.2. It provides the conditions under which the problem has a solution and the infinite solutions are presented. The last method states the form of all the solutions. The main result is established in the Theorem 3.2.3. A complete section is dedicated to solve the associated optimization Procrustes problem in case of the problem admits solution. Below, a summary of the organization of this thesis and a brief description of its four chapters are presented. Chapter 1 contains an introduction to the inverse eigenvalue problem, the Procrustes problem, and some other ones studied in the literature. In Chapter 2, the inverse eigenvalue problem for a hermitian reflexive matrix with respect to a normal {k + 1}-potent matrix is studied, as well as the associated optimization Procrustes problem. In addition, an algorithm that solves the Procrustes problem is designed and an example that shows the performance of the algorithm is given. The inverse eigenvalue problem for a normal J-Hamiltonian matrix is investigated in Chapter 3 by using several methods and the associated optimization Procrustes problem is considered. An algorithm that allows us to calculate the solution of the optimization problem is proposed and some examples are provided. In Chapter 4, based on the results obtained in Chapter 3, the inverse eigenvalue problem for normal J-skewHamiltonian matrices is addressed.

Una àrea important de la Matemàtica és l'Anàlisi Matricial ja que molts problemas poden reformular-se en termes de matrius i així facilitar la seua resolució. El problema de valor propi invers consisteix en la reconstrucció d'una matriu a partir de dades espectrals donades. Aquest tipus de problemes es presenta a diferents àrees de l'enginyeria i sorgeix a nombroses aplicacions. Els problemes de valors propis inversos han estat estudiats des dels punts de vista teòric, numèric com també del de les aplicacions. A aquesta tesi es resol el problema per a tres tipus específics de matrius. En diversos casos, per tal de que el problema de valor propi tingui sentit, és necessari imposar una estructura específica a la matriu. Un problema de valor propi invers adequadament plantejat ha de satisfer dues restriccions: la referida a les dades espectrals i la restricció estructural desitjada. Donada una matriu X i una matriu diagonal D, es busquen solucions de l'equació AX = XD sent A una matriu amb una determinada estructura. A partir d'aquestes restriccions sobre la matriu A sorgeixen una varietat de problemes de valors propis inversos. El problema pel cas d'una matriu A hermítica i reflexiva o antireflexiva respecte d'una matriu J tripotent i hermítica ha sigut resolt per L. Lebtahi i N. Thome. Al Capítol 2 d'aquesta memòria s'estén este treball esmentat pel cas d'una matriu A hermítica reflexiva respecte d'una matriu J {k+1}-potent I normal. Al Teorema 2.2.1 es donen les condicions sota les quals el problema té solució i es proporciona la forma explícita de la solució general. A més, en el cas de que el conjunt de solucions del problema sigui no buit, es resol el problema de Procrustes associat. Les matrius Hamiltonianes i antiHamiltonianes apareixen en la resolució d'importants problemes de la Teoria de Sistemes i Control. El problema de valor propi invers per a matrius hermítiques i Hamiltonianes generalitzades va ser analitzat per Z. Zhang, X. Hu i L. Zang i posteriorment va ser considerat el cas de matrius hermítiques i antiHamiltonianes generalitzades per Z. Bai. En ambdós casos no només s'estudia el problema de valor propi invers i el problema de trobar la millor aproximació. Una extensió de les matrius Hamiltonianes són les matrius J-Hamiltonianes, i correspon a una de les aportacions originals que es realitzen a aquesta memòria. Als Capítols 3 i 4 s'estudien el problema de valor propi invers per a matrius normals J-Hamiltonianes i per a normals J-antiHamiltonianes. Per a la resolució del cas de les matrius normals J-Hamiltonianes es presenten quatre mètodes diferents. Els dos primers mètodes són generals i donen condicions per a que el problema tingui solución. El tercer mètode queda formalitzat al Teorema 3.2.2 que proporciona les condicions sota les quals el problema té solució i es presenten infinites solucions del mateix. Totes les solucions s'obtenen amb l'últim mètode. El principal resultat es dona al Teorema 3.2.3. Una secció completa està dedicada a la resolució del problema de Procrustes associat. L'organització d'aquesta tesi es la següent. El Capítol 1 conté una introducció al problema de valor propi invers i al problema de Procrustes. Al Capítol 2 s'estudia el problema de valor propi invers per a una matriu hermítica reflexiva respecte d'una matriu normal {k + 1}-potent, així com també el problema d'optimització de Procrustes associat. A més, es proposa un algoritme que resol el problema de Procrustes i es dona un exemple que mostra el funcionament del mateix. El problema de valor propi invers per a una matriu normal J-Hamiltoniana es resol al Capítol 3 fent servir diferents mètodes i a més es considera el problema d'optimització de Procrustes associat. Es proposa un algoritme que serveix per a calcular la solució del problema d'optimització i es presenten alguns exemples. Al Capítol 4, en funció dels resultats obtinguts al Capítol 3, s'aborda e