Metodología formal de análisis del comportamiento dinámico de sistemas no lineales mediante lógica borrosa

Abstract

[ES] Tener la capacidad para analizar un sistema desde un punto de vista dinámico puede ser muy útil en muchas circunstancias (sistemas industriales, biológicos, económicos,. ..). El análisis dinámico de un sistema permite conocer su comportamiento y la respuesta que presentará a distintos estímulos de entrada, su estabilidad en lazo abierto, tanto local como global, o si está afectado por fenómenos no lineales, como ciclos límites o bifurcaciones, entre otros. Si el sistema es desconocido o su dinámica es lo suficientemente compleja como para no poder obtener un modelo matemático del mismo, en principio no sería posible realizar un análisis dinámico formal del sistema. En estos casos la lógica borrosa, y más concretamente los modelos borrosos de tipo Takagi-Sugeno (TS), se presentan como una herramienta muy poderosa de análisis y diseño. Los modelos borrosos TS son aproximadores universales tanto de una función como de su derivada, por lo que permiten modelar sistemas no lineales en base a datos de entrada/salida. Puesto que un modelo borroso es un modelo matemático formalmente hablando, a partir del mismo es posible estudiar aspectos de la dinámica del sistema real que modela tal como se hace en la teoría de control no lineal. En este artículo se presenta una metodología para la obtención de los estados de equilibrio de un sistema no lineal, la linealización exacta de su modelo borroso de estado completamente general, el estudio de la estabilidad local de los equilibrios a partir de dicha linealización, y la utilización de la metodología de Poincare para el estudio de órbitas periódicas en modelos borrosos. A partir de esa información, es posible estudiar la estabilidad local de los estados de equilibrio, así como la dinámica del sistema en su entorno y la presencia de oscilaciones, obteniéndose una valiosa información del comportamiento dinámico del sistema.

[EN] Having the ability to analyze a system from a dynamic point of view can be very useful in many circumstances (industrial systems, biological, economical, . . .). The dynamic analysis of a system allows to understand its behavior and response to different inputs, open loop stability, both locally and globally, or if it is affected by nonlinear phenomena, such as limit cycles, or bifurcations, among others. If the system is unknown or its dynamic is complex enough to obtain its mathematical model, in principle it would not be possible to make a formal dynamic analysis of the system. In these cases, fuzzy logic, and more specifically fuzzy TS models is presented as a powerful tool for analysis and design. The TS fuzzy models are universal approximators both of a function and its derivative, so it allows modeling highly nonlinear systems based on input/output data. Since a fuzzy model is a mathematical model formally speaking, it is possible to study the dynamic aspects of the real system that it models such as in the theory of nonlinear control.This article describes a methodology for obtaining the equilibrium states of a generic nonlinear system, the exact linearization of a completely general fuzzy model, and the use of the Poincaré’s methodology for the study of periodic orbits in fuzzy models. From this information it is possible to study the local stability of the equilibrium states, the dynamics of the system in its environment, and the presence of oscillations, yielding valuable information on the dynamic behavior of the system.