Método Cartesian Grid Discontinuous Galerkin para electromagnetismo computacional

Abstract

[ES] La obtención de una solución precisa para problemas de electromagnetismo resulta de gran interés en muchos campos de la ciencia y la industria como astronomía, aeronáutica, medicina, electrónica, etc. La imposibilidad de obtener solución analítica para geometrías complejas como las que aparecen en los problemas reales y los elevados costes y tiempos de preparación asociados a los ensayos experimentales que premiten cuantificar las magnitudes físicas de interés posicionan a la simulación mediante métodos numéricos como la alternativa más versátil, rápida y económicamente viable. Por este motivo, en los últimos 60 años se han destinado importantes esfuerzos al desarrollo de estratégias de cálculo que permitan una correcta modelización del problema.

La resolución de problemas físicos que implican la propagación de ondas dentro de un dominio, entre los que se incluye el problema electromagnético, supone un desafío para el campo de la mecánica computacional debido a la naturaleza hiperbólica de las ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan estos procesos. En 1969, Yee planteó el método de las diferencias finitas en el dominio temporal (Finite-Difference Time-Domain FDTD) y lo aplicó satisfactoriamente a la resolución de las ecuaciones de Maxwell. El FDTD es un método sencillo y robusto que permite un nivel de precisión razonable para la mayoría de casos prácticos. Sin embargo, su simplicidad también es el origen de importantes limitaciones ya que introduce errores tanto en la captación de la geométría del problema físico real como en la progación de la onda. A lo largo de los años se han propuesto modificaciones y nuevas estrategias para la simulación de este tipo de problemas. Entre ellas, la utilización de la técnica Discontinuous Galerkin (DG) junto con interpolaciones de alto grado ha demostrado ser una de las alternativas más efectivas, ya que permite minimizar los errores de propagación introducidos por el método a la vez que se obtiene una representación más fiel de la geometría.

El obstáculo que impide el uso extendido de la técnica DG en la indústria es la necesidad de generar mallas curvas de alto orden que sean conformes con la geometría. En la actualidad no existen malladores de alto orden que aseguren la obtención de mallas válidas para cualquier geometría. En contraposición a los métodos con mallas conformes, se han desarrollado los denominados métodos de contornos embebidos (Immersed Boundary Methods IBM) entre los cuales se incluye el Cartesian grid Finite Element Method cgFEM desarrollado por el Centro de Investigación en Ingeniería Mecánica (CIIM) de la Universidad Politécnica de Valencia (UPV). Estos métodos se caracterizan porque la generación de la malla de cálculo es independiente de la geometría del problema en cuestión. En cgFEM se explota este desacoplamiento y se construyen mallas estructuradas y jerárquicas que permiten reducir de forma muy importante los tiempos de cálculo.

El objetivo de este trabajo es el desarrollo de un marco matemático que permita la resolución numérica de sistemas hiperbólicos de ecuaciones en derivadas parciales con un nivel de precisión alto y para cualquier tipo de geometría del dominio físico. Para ello, se propone el uso de la técnica DG de alto orden en combinación con la discretización espacial proporcionada por el cgFEM. El cálculo de las integrales que aparecen al plantear el problema empleando la formulación débil exige la utilización de técnicas de integración numérica que consideren la geometría exacta en aquellos elementos de la malla intersecados por el modelo geométrico y que al mismo tiempo sean computacionalmente eficientes. Este trabajo abarca el desarrollo, aplicación e implementación de estas técnicas.