Contact problem modelling using the Cartesian grid Finite Element Method

Abstract

[ES] La interacción de contacto entre sólidos deformables es uno de los fenómenos más complejos en el ámbito de la mecánica computacional. La resolución de este problema requiere de algoritmos robustos para el tratamiento de no linealidades geométricas. El Método de Elementos Finitos (MEF) es uno de los más utilizados para el diseño de componentes mecánicos, incluyendo la solución de problemas de contacto. En este método el coste asociado al proceso de discretización (generación de malla) está directamente vinculado a la definición del contorno a modelar, lo cual dificulta la introducción en la simulación de superficies complejas, como las superficies NURBS, cada vez más utilizadas en el diseño de componentes.

Esta tesis está basada en el "Cartesian grid Finite Element Method" (cgFEM). En esta metodología, encuadrada en la categoría de métodos "Immersed Boundary", se extiende el problema a un dominio de aproximación (cuyo mallado es sencillo de generar) que contiene al dominio de análisis completamente en su interior. Al desvincular la discretización de la definición del contorno del problema se reduce drásticamente el coste de generación de malla. Es por ello que el método cgFEM es una herramienta adecuada para la resolución de problemas en los que es necesario modificar la geometría múltiples veces, como el problema de optimización de forma o la simulación de desgaste.

El método cgFEM permite también crear de manera automática y eficiente modelos de Elementos Finitos a partir de imágenes médicas. La introducción de restricciones de contacto habilitaría la posibilidad de considerar los diferentes estados de integración implante-tejido en procesos de optimización personalizada de implantes.

Así, en esta tesis se desarrolla una formulación para resolver problemas de contacto 3D con el método cgFEM, considerando tanto modelos de contacto sin fricción como problemas con rozamiento de Coulomb. La ausencia de nodos en el contorno en cgFEM impide la aplicación de métodos tradicionales para imponer las restricciones de contacto, por lo que se ha desarrollado una formulación estabilizada que hace uso de un campo de tensiones recuperado para asegurar la estabilidad del método. Para una mayor precisión de la solución, se ha introducido la definición analítica de las superficies en contacto en la formulación propuesta.

Además, se propone la mejora de la robustez de la metodología cgFEM en dos aspectos: el control del mal condicionamiento del problema numérico mediante un método estabilizado, y la mejora del campo de tensiones recuperado, utilizado en el proceso de estimación de error.

La metodología propuesta se ha validado a través de diversos ejemplos numéricos presentados en la tesis, mostrando el gran potencial de cgFEM en este tipo de problemas.

[CA] La interacció de contacte entre sòlids deformables és un dels fenòmens més complexos en l'àmbit de la mecànica computacional. La resolució d'este problema requerix d'algoritmes robustos per al tractament de no linealitats geomètriques. El Mètode dels Elements Finits (MEF) és un dels més utilitzats per al disseny de components mecànics, incloent la solució de problemes de contacte. En este mètode el cost associat al procés de discretització (generació de malla) està directament vinculat a la definició del contorn a modelar, la qual cosa dificulta la introducció en la simulació de superfícies complexes, com les superfícies NURBS, cada vegada més utilitzades en el disseny de components.

Esta tesi està basada en el "Cartesian grid Finite Element Method" (cgFEM). En esta metodologia, enquadrada en la categoria de mètodes "Immersed Boundary", s'estén el problema a un domini d'aproximació (el mallat del qual és senzill de generar) que conté al domini d'anàlisi completament en el seu interior. Al desvincular la discretització de la definició del contorn del problema es reduïx dràsticament el cost de generació de malla. És per això que el mètode cgFEM és una ferramenta adequada per a la resolució de problemes en què és necessari modificar la geometria múltiples vegades, com el problema d'optimització de forma o la simulació de desgast. El mètode cgFEM permet també crear de manera automàtica i eficient models d'Elements Finits a partir d'imatges mèdiques. La introducció de restriccions de contacte habilitaria la possibilitat de considerar els diferents estats d'integració implant-teixit en processos d'optimització personalitzada d'implants.

Així, en esta tesi es desenvolupa una formulació per a resoldre problemes de contacte 3D amb el mètode cgFEM, considerant tant models de contacte sense fricció com a problemes amb fregament de Coulomb. L'absència de nodes en el contorn en cgFEM impedix l'aplicació de mètodes tradicionals per a imposar les restriccions de contacte, per la qual cosa s'ha desenvolupat una formulació estabilitzada que fa ús d'un camp de tensions recuperat per a assegurar l'estabilitat del mètode. Per a una millor precisió de la solució, s'ha introduït la definició analítica de les superfícies en contacte en la formulació proposada.

A més, es proposa la millora de la robustesa de la metodologia cgFEM en dos aspectes: el control del mal condicionament del problema numèric per mitjà d'un mètode estabilitzat, i la millora del camp de tensions recuperat, utilitzat en el procés d'estimació d'error.

La metodologia proposada s'ha validat a través de diversos exemples numèrics presentats en la tesi, mostrant el gran potencial de cgFEM en este tipus de problemes.

[EN] The contact interaction between elastic solids is one of the most complex phenomena in the computational mechanics research field. The solution of such problem requires robust algorithms to treat the geometrical non-linearities characteristic of the contact constrains. The Finite Element Method (FE) has become one of the most popular options for the mechanical components design, including the solution of contact problems. In this method the computational cost of the generation of the discretization (mesh generation) is directly related to the complexity of the analysis domain, namely its boundary. This complicates the introduction in the numerical simulations of complex surfaces (for example NURBS), which are being increasingly used in the CAD industry.

This thesis is grounded on the Cartesian grid Finite Element Method (cgFEM). In this methodology, which belongs to the family of Immersed Boundary methods, the problem at hand is extended to an approximation domain which completely embeds the analysis domain, and its meshing is straightforward. The decoupling of the boundary definition and the discretization mesh results in a great reduction of the mesh generation's computational cost. Is for this reason that the cgFEM is a suitable tool for the solution of problems that require multiple geometry modifications, such as shape optimization problems or wear simulations.

The cgFEM is also capable of automatically generating FE models from medical images without the intermediate step of generating CAD entities. The introduction of the contact interaction would open the possibility to consider different states of the union between implant and living tissue for the design of optimized implants, even in a patient-specific process.

Hence, in this thesis a formulation for solving 3D contact problems with the cgFEM is presented, considering both frictionless and Coulomb's friction problems. The absence of nodes along the boundary in cgFEM prevents the enforcement of the contact constrains using the standard procedures. Thus, we develop a stabilized formulation that makes use of a recovered stress field, which ensures the stability of the method. The analytical definition of the contact surfaces (by means of NURBS) has been included in the proposed formulation in order to increase the accuracy of the solution.

In addition, the robustness of the cgFEM methodology is increased in this thesis in two different aspects: the control of the numerical problem's ill-conditioning by means of a stabilized method, and the enhancement of the stress recovered field, which is used in the error estimation procedure.

The proposed methodology has been validated through several numerical examples, showing the great potential of the cgFEM in these type of problems.