Diseño, análisis y estabilidad de métodos iterativos para resolver problemas no lineales

Abstract

[ES] En todas las disciplinas de la ciencia, desde la ingeniería hasta la economía, encontrar las soluciones de una ecuación es esencial. Puesto que los métodos iterativos nos permiten encontrar dichas soluciones de ecuaciones no lineales, existen en la literatura numerosos estudios sobre estos métodos, entre los que cabe destacar los de Newton, Traub o Chebyshev. En este trabajo, presentamos y diseñamos diferentes familias de métodos dependientes de ciertos parámetros. Empleando herramientas de dinámica compleja, se compararán varias clases con el fin de encontrar aquellas con un comportamiento bueno y estable, mediante las propiedades de la función racional obtenida cuando se aplican a polinomios cuadráticos. La estabilidad de los métodos juega un papel importante en su fiabilidad cuando son aplicados en distintos problemas. Asimismo, es importante centrarse en su orden de convergencia, el cual indica la velocidad a la que se alcanza la solución. El estudio de los puntos fijos, junto con los puntos críticos y sus planos de parámetros asociados, muestran la riqueza de las clases presentadas y nos permiten seleccionar los mejores elementos de las familias.

[EN] In every science discipline, from engineering to economics, finding solutions of an equation is essential. As iterative methods allow us to find solutions of nonlinear equations, there exist in the literature plenty of studies about these methods, such us Newton, Traub or Chebyshev. In this work, we present and design different families of methods depending on parameters. By using complex dynamics tools, we will compare several methods in order to find those ones with a good and stable behavior, by means of the properties of the rational function obtained when they are applied on quadratic polynomials. The stability of the methods plays an important role in their reliability when they are applied on different problems. It is also important to focus on their order of convergence, what means the speed at which the method reaches the solution. The study of fixed points, together with the critical points and their associated parameter planes, show the richness of the presented classes and allow us to select the best elements of the families.