Sobre la inversa generalizada core y algunos resultados relacionados

Abstract

[ES] El Análisis Matricial constituye un área muy importante de la Matemática Aplicada y es una herramienta fundamental para el desarrollo de muchas aplicaciones de distintas ramas de la ciencia y la tecnología. Algunos de los problemas requieren de la solución de ecuaciones matriciales, en los cuales es necesario el cálculo de matrices inversas. Sin embargo, como no toda matriz es invertible (o incluso se trata de un problema sobre matrices rectangulares), la utilización de diferentes inversas generalizadas permite abordarlos de manera satisfactoria. En esta última década han surgido nuevas nociones de inversas, una de ellas es la inversa core. En este trabajo se presentan las definiciones y algunas de las propiedades más relevantes de las inversas clásicas, como son la inversa de Moore-Penrose y la inversa de grupo, para luego poder introducir la definición de la inversa core y demostrar distintas propiedades, caracterizaciones y representaciones de la misma. Además, se estudia la descomposición de Hartwig-Spindelböck para las inversas anteriormente mencionadas puesto que dicha descomposición constituye una importante herramienta que permite realizar muchas de las demostraciones de los principales resultados de este trabajo. Finalmente, se proporcionan algunas aplicaciones que muestran el interés del estudio de la inversa core.

[EN] Matrix Analysis is a very important area of Applied Mathematics and it is an essential tool for the development of many applications of different branches of science and technology. Some problems in this area require to solve matrix equations,for which the computation of inverse matrices is necessary. However, since not every matrix is invertible (or even the problem may involve rectangular matrices), the useof generalized inverses allows us to approach them satisfactorily. In the last decade, new notions of inverses have appeared in the literature, one of them is called the core inverse. This work presents the definitions and some of the most relevant properties of the classical inverses, such as the Moore-Penrose inverse and the group inverse. Then, we introduce the definition of the core inverse and prove several properties, characterizations and representations of it. In addition, we study the Hartwig-Spindelböck decomposition for the aforementioned inverses. Such a decomposition constitutes an important tool that allows us to carry out the proofs of the main results of this work. Finally, some interesting applications of the core inverse are provided in order to show its usefulness.

[CA] L’Anàlisi Matricial constitueix una àrea molt important de la Matemàtica Aplicada i és una eina fonamental per al desenvolupament de moltes aplicacions de diferents branques de la ciència i la tecnologia. Alguns dels problemes requereixen de la solució d’equacions matricials, en els que és necessari el càlcul de matrius inverses. No obstant això, com no tota matriu és invertible (o fins i tot es tracta d’un problema sobre matrius rectangulars), l’´us de diferents inverses generalitzades permet abordar-los de manera satisfactòria. En aquesta última dècada han sorgit noves nocions d’inverses, una d’elles és la inversa core. En aquest treball es presenten les definicions i algunes de les propietats més rellevants de les inverses clàssiques, com són la inversa de Moore-Penrose i la inversa de grup, per a després poder introduir la definició de la inversa core i demostrar diferents propietats, caracteritzacions i representacions d’aquesta. A més, s’estudia la descomposició de Hartwig-Spindelböck per a les inverses anteriorment esmentades ja que aquesta descomposició constitueix una important eina que permet realitzar moltes de les demostracions dels principals resultats d’aquest treball. Finalment, es proporcionen algunes aplicacions que mostren l’interès de l’estudi de la inversa core.