The weak topology on q-convex Banach function spaces

Abstract

El concepto geométrico de q-convexidad de retículos de Banach y su noción dual, la q-concavidad, son herramientas fundamentales en el estudio de las estructuras de estos espacios y los operadores definidos sobre ellos. Aunque hay resultados muy anteriores que pueden ser identificados con algunos aspectos de la teoría geométrica de retículos de Banach, las principales definiciones y conceptos relacionados con ellos fueron introducidos en los sesenta y setenta por Krivine, Maurey y Rosenthal entre otros. En la actualidad, la noción de q-convexidad en retículos de Banach ha sido bastante estudiada así como su relación con los principales teoremas de estructuras de espacios de funciones de Banach, operadores p-sumantes y factorización de operadores a través de espacios $L^q$ y también para recientes estudios sobre este tópico. Por ejemplo, es posible caracterizar q-convexidad en términos del comportamiento de operadores positivos sobre el espacio, en particular factorizaciones a través de espacios $\ell^p $. Sin embargo, no han sido dadas caracterizaciones internas de esta noción geométrica, en el sentido que pueda ser caracterizada usando sólo elementos directamente asociados con el espacio. Este trabajo ha sido desarrollado para intentar dar una caracterización natural e intrínseca de la q-convexidad usando propiedades topológicas definidas por una clase particular de seminormas sobre $X(\mu)$. Finalmente, presentamos un teorema de factorización tipo Maurey-Rosenthal para operados, trabajando con las nociones de q-convexidad y q-concavidad, de cara a mostrar como estas nociones pueden ser usadas para extender los principales argumentos utilizados en la teoría de factorización de operadores.