Cambio de variables para integrales dobles. Coordenadas polares : Uso de las coordenadas polares para calcular integrales dobles sobre recintos circulares

Abstract

La doble integración es un método comúnmente utilizado para el cálculo de áreas y volúmenes, además de tener aplicación en muchas otras materias más allá de la pura matemática. La situación ideal es que el dominio de integración sea un rectángulo puesto que en este caso el resultado se obtiene de forma inmediata, siempre que la función a integrar sea continua en el dominio, sin más que aplicar integración reiterada. Sin embargo, en el caso general, el dominio de integración no será un rectángulo. En la mayoría de los casos, deberemos utilizar métodos numéricos de integración para resolver el problema pero en otros (si el dominio se encuentra delimitado por funciones sencillas y conocidas) podremos aplicar un cambio de variable que permita la transformación del recinto de integración original en otro rectangular. Esto es especialmente interesante si nuestro dominio de integración es un círculo, porción de círculo o un área que pueda definirse usando ecuaciones en las que intervengan circunferencias. En este caso el cambio a coordenadas polares nos proporcionará un nuevo dominio de integración mucho más sencillo. Estudiaremos el caso particular del cambio de variable de coordenadas cartesianas a polares, obteniendo para ello el determinante de la matriz Jacobiana y veremos un ejemplo de aplicación.