Notes on differentiability, norm-preserving extensions, and renormings in Banach spaces

Abstract

[ES] Renormar un espacio de Banach consiste en definir en él una norma que genere la misma topología. Dos normas que generan la misma topología se dice que son equivalentes. Se busca que la norma equivalente tenga mejores propiedades geométricas que la original ---rotundidad, diferenciabilidad, etc. En 1960, Phelps introdujo la noción de propiedad U, sobre la unicidad de la extensión de Hahn-Banach en subespacios de un espacio de Banach. Varios autores han estudiado esta propiedad, entre ellos Sullivan, y muy recientemente (2019) Oja, Viil y Werner. El problema fundamental que plantean estos últimos trabajos es la búsqueda de renormamientos que conservando la propiedad U de X en su bidual, tengan algún tipo de suavidad, en particular, suavidad total. El objetivo fundamental de este trabajo consiste en exponer, de la manera más autocontenida posible, una notable mejora del resultado de Oja y sus colaboradores que hemos publicado (RACSAM) durante la elaboración de esta memoria. En concreto, se prueba que todo espacio de Banach con la propiedad de que todo funcional definido en él tiene una única extensión de Hahn-Banach en su bidual puede ser dotado de una norma equivalente totalmente suave (e incluso, con una propiedad más fuerte). Este resultado extiende los anteriormente mencionados al eliminar la hipótesis de separabilidad y, después, de generación débilmente compacta, sobre el espacio. Se dan ejemplos que aseguran que se trata realmente de una mejora. En la consecución de este resultado se ha hecho un estudio pormenorizado de las propiedades anteriormente mencionadas, revisando las referencias clásicas y aportando algunos nuevos resultados y pruebas alternativas, todo ello con el objetivo de conectar las propiedades de extensión única con las nociones de rotundidad, diferenciabilidad de la norma y coincidencia de las topologías en la esfera unidad del espacio dual. También se estudian en detalle numerosos resultados profundos sobre renormamiento LUR, como son los teoremas de Troyanski, Zizler, y Raja, respectivamente. Se requiere el estudio de técnicas como el Lema Maestro de Deville o la obtención de resoluciones proyectivas de la identidad mediante generadores proyectivos. El trabajo incorpora también algunos resultados originales que se han obtenido o se han necesitado durante su elaboración, a saber, un refinamiento del "Superlema" de Bourgain-Namioka para nuestra mejora de resultados de E. Jordá y A.M. Zarco sobre la diferenciabilidad de la norma de un espacio de Banach, algunas observaciones sobre la generalización de la propiedad de Kadets-Klee, y una extensión de un resultado de renormamiento LUR de Moltó, Orihuela, Troyanski y Valdivia. La Memoria concluye con unas indicaciones sobre desarrollos futuros.