Matrices no negativas y aplicaciones a sistemas singulares de control

Abstract

En esta tesis doctoral se ha abordado el estudio de los sistemas lineales singulares de control en tiempo discreto. Concretamente, la propiedad que se ha analizado corresponde a la no negatividad del sistema singular. Los sistemas singulares de control no negativos tienen múltiples aplicaciones en diferentes áreas como teoría de circuitos, economía, química, estudio de poblaciones, etc. De ahí el interés de abordar caracterizaciones de este tipo de sistemas. En primer lugar, en el capítulo 1, se realiza una introducción donde se detallan algunos antecedentes del tema y se introducen las notaciones necesarias. En el capítulo 2, se estudia la clase de matrices de índice 1 y, a partir de ella, la de clase de los proyectores de grupo, ambos en relación a su no negatividad. Concretamente, se han definido todos los conjuntos posibles que involucran la no negatividad de una matriz, la de su inversa de grupo, la de su proyector de grupo y las posibles combinaciones entre ellas. Se han dado caracterizaciones para los conjuntos mencionados anteriormente obteniendo una factorización específica de las matrices correspondientes. La técnica utilizada requiere sólo de algunos bloques de las matrices coeficientes originales para realizar dichas caracterizaciones, permitiendo así reducir las operaciones a realizar en su comprobación. Como caso especial se han obtenido condiciones necesarias y suficientes que caracterizan las matrices {l}-periódicas de grupo. Posteriormente, se han aplicado los resultados sobre matrices de índice 1 al estudio de la no negatividad de los sistemas singulares de control en tiempo discreto cuya matriz de coeficientes E es singular de índice 1. Así mismo, se ha diseñado un algoritmo que permite construir realimentaciones que transforman el sistema original en un sistema regular y no negativo. En el capítulo 3, como generalización del estudio indicado anteriormente, se han definido los conjuntos correspondientes para matrices de índice mayor que 1 donde aparecen involucrados la inversa de Drazin y el proyector de Drazin. La técnica utilizada en este caso se basa en la descomposición core-nilpotente de una matriz cuadrada y en los resultados anteriores para índice 1. Después de un análisis semejante al dado en el capítulo anterior de los diferentes conjuntos, se establecen relaciones de inclusión entre todos ellos. Del mismo modo, se han cubierto todos los casos y se han caracterizado los conjuntos obtenidos. Finalmente, se han aplicado los resultados obtenidos para la caracterización de la no negatividad de sistemas singulares de control, en este caso, en que la matriz E tenga índice superior a 1.