Atractores, repulsores y puntos de silla en sistemas dinámicos discretos

Abstract

Este objeto presenta un sistema dinámico que involucra a dos magnitudes, x(t) e y(t), que evolucionan de manera discreta (a intervalos temporales discretos) interactuando entre ellas (por ejemplo, dos empresas que interactúan, dos especies en coexistencia, modelos de dos compartimentos en farmacología, etc.). El sistema viene descrito por la ecuación matricial X(t+1)=A*X(t) Donde X(t)=(x(t),y(t))^T y A=(a_ij) es un matriz 2x2 cuyas entradas determinan el comportamiento del sistema dinámico. En el objeto se pretende visualizar las trayectorias de diversos puntos iniciales (x,y)^T sometidos a dicho comportamiento discreto, para distintas matrices A. Los vértices y puntos medios de los lados del cuadrado [-1,1]x[-1,1] son considerados por defecto como puntos de arranque de sus respectivas trayectorias. Además, el usuario introducirá un punto adicional dentro del mismo cuadrado, cuya trayectoria se superpondrá a las de los ocho puntos anteriores. Variando adecuadamente las entradas de A, se pueden observar comportamientos diversos típicos de los sistemas dinámicos discreto y, en particular, se pueden observar puntos especiales del sistema: son puntos que atraen a todas las trayectorias, puntos que hacen de repulsores y, también, puntos de silla, en los que dependiendo de la dirección atraen o repelen las trayectorias. Este comportamiento está íntimamente asociado a los valores y vectores propios de la matriz del sistema. Para cada matriz introducida se muestran tales valores y vectores propios. También se presenta la evolución temporal del punto personalizado.