Diseño óptimo de gráficos de control no paramétricos para la dispersión basados en el estadístico de signo en presencia de errores de redondeo

Abstract

[ES] Hoy en día, los gráficos de control son una herramienta potente y útil para alcanzar estándares de calidad elevada en una industria altamente competitiva, pues nos permiten controlar y mejorar los procesos industriales. De este gran interés surge la motivación de este trabajo final de máster, que consiste en optimizar, desde un punto de vista estadístico y computacional, un gráfico de control Shewhart no paramétrico basado en el estadístico de signo para detectar cambios en la dispersión de una característica de calidad continua. En concreto, se aborda el estudio del caso en el que se producen errores debidos a la resolución del instrumento de medida. En primer lugar, se define el estadístico de signo para la dispersión y se formaliza matemáticamente la presencia de errores de redondeo asociados al instrumento de medida. A partir de aquí, se desarrollan dos algoritmos enumerativos para la determinación óptima de los parámetros del gráfico objeto de estudio: uno para el caso en el que se asume que no hay errores de redondeo, y otro teniendo en cuenta la presencia de este tipo de errores. Posteriormente, se realizan experiencias numéricas para analizar, en primer lugar, el comportamiento del gráfico optimizado para escenarios sin errores de redondeo cuando realmente sí se producen este tipo de errores; como cabía prever, se constata una degradación del desempeño esperado del gráfico. En segundo lugar, se evalúan los resultados de reoptimizar el gráfico para un escenario con errores de redondeo; se observa que es posible obtener gráficos que tengan en cuenta los errores de redondeo manteniendo niveles de rendimiento similares a los esperados. Por último, las experiencias numéricas llevadas a cabo revelan la importancia de realizar un estudio de las características de la distribución de probabilidad subyacente (en particular, de su curtosis) para obtener estimaciones ajustadas del desempeño del gráfico.

[CA] Hui dia, els gràfics de control són una eina potent i útil per a aconseguir estàndards de qualitat elevada en una indústria altament competitiva, ja que ens permeten controlar i millorar els processos industrials. D'aquest gran interès sorgeix la motivació d'aquest treball final de màster, que consisteix a optimitzar, des d'un punt de vista estadístic i computacional, un gràfic de control Shewhart no paramètric basat en l'estadístic de signe per a detectar canvis en la dispersió d'una característica de qualitat contínua. En concret, s'aborda l'estudi del cas en el qual es produeixen errors deguts a la resolució de l'instrument de mesura. En primer lloc, es defineix l'estadístic de signe per a la dispersió i es formalitza matemàticament la presència d'errors d'arrodoniment associats a l'instrument de mesura. A partir d'ací, es desenvolupen dos algoritmes enumeratius per a la determinació òptima dels paràmetres del gràfic objecte d'estudi: un per al cas en el qual s'assumeix que no hi ha errors d'arrodoniment, i un altre tenint en compte la presència d'aquests tipus d'errors. Posteriorment, es realitzen experiències numèriques per a analitzar, en primer lloc, el comportament del gràfic optimitzat per a escenaris sense errors d'arrodoniment quan realment sí que es produeixen aquest tipus d'errors; com cabia preveure, es constata una degradació del rendiment esperat del gràfic. En segon lloc, s'avaluen els resultats de reoptimitzar el gràfic per a un escenari amb errors d'arrodoniment; s'observa que és possible obtindre gràfics que tinguen en compte els errors d'arrodoniment tot mantenint nivells de rendiment similars als esperats. Finalment, les experiències numèriques dutes a terme revelen la importància de realitzar un estudi de les característiques de la distribució de probabilitat subjacent (en particular, de la seua curtosi) per a obtindre estimacions ajustades del rendiment del gràfic.

[EN] Nowadays, control charts are a powerful and useful tool to achieve high quality standards in a highly competitive industry, since they allow us to monitor and improve industrial processes. From this great interest arises the motivation of this master's thesis, which consists of optimising, from a statistical and computational point of view, a non-parametric Shewhart control chart based on the sign statistic aiming at detecting changes in the dispersion of a continuous quality characteristic. In particular, the study of the case in which errors occur due to the resolution of the measuring instrument is addressed. First, the sign statistic for dispersion is defined and the presence of rounding errors associated with the measuring instrument is mathematically formalised. From here, two enumerative algorithms are developed for the optimal determination of the parameters of the graph under study: one for the case in which it is assumed that there are no rounding errors, and another one taking into account the presence of this type of errors. Afterwards, numerical experiments are carried out to analyse, firstly, the behaviour of the graph optimised for scenarios without rounding errors when rounding errors do occur; as expected, a degradation of the performance of the graph is observed. Secondly, the results of re-optimising the graph for a scenario with rounding errors are evaluated; it is observed that it is possible to obtain graphs that take into account rounding errors while maintaining performance levels similar to those expected. Finally, the numerical experiments carried out reveal the importance of performing a study of the characteristics of the underlying probability distribution (in particular, its kurtosis) in order to obtain adjusted estimates of the chart's performance.