Singularidades de aplicaciones

Abstract

[ES] En el presente trabajo encontramos una primera aproximación a la teoría de singularidades. Comenzando por la definición de germen de aplicación, que resultará sumamente útil puesto que queremos estudiar propiedades locales de las aplicaciones, pasando por la clasificación de gérmenes por ℛ-equivalencia y finalizando con la prueba de que los conceptos de estabilidad y estabilidad infinitesimal son equivalentes. Se ha dividido la memoria en tres capítulos: En el segundo capítulo se ve la definición de germen y los diferentes tipos de gérmenes, además, se enuncian algunos teoremas básicos como la Regla de la cadena o el Teorema de la función inversa para variedades. Se presentan los diferentes tipos de equivalencia de gérmenes junto con algunas propiedades. El capítulo finaliza con una sección dedicada a la clasificación de gérmenes regulares, que está totalmente resuelta. En el capítulo tercero veremos la clasificación de gérmenes de funciones diferenciables por ℛ-equivalencia. Previamente, necesitaremos analizar algunos conceptos, como el conjunto de gérmenes de funciones, el ideal jacobiano de un germen, la codimensión de un germen y la determinación finita. En este capítulo, todas las definiciones irán acompañadas de los resultados necesarios para la clasificación de gérmenes según su codimensión. Veremos algunos ejemplos utilizando el software SINGULAR. En el capítulo cuarto estudiamos dos de los principales conceptos para la clasificación por 𝒜-equivalencia: estabilidad y estabilidad infinitesimal. Presentaremos las definiciones necesarias para definirlos, como el de desdoblamiento o el espacio tangente extendido. Veremos algunos ejemplos y finalizaremos viendo el Teorema de estabilidad infinitesimal de Mather.

[EN] The aim of this master's thesis is to present a first approach to the theory of singularities. Starting with the definition of application germ, which will be extremely useful since we want to study local properties of applications, going through the classification of germs by ℛ-equivalence and ending with the proof that the concepts of stability and infinitesimal stability are equivalent. The report has been divided into three chapters: In chapter two we see the definition of germ and the different types of germs, in addition, some basic theorems are enunciated such as the Chain Rule or the Inverse Function Theorem for varieties. The different types of germ equivalences are presented along with some properties. The chapter ends with a section dedicated to the classification of regular germs, which is fully resolved. In chapter three we will see the classification of germs of differentiable functions by ℛ-equivalence. Previously, we will need to analyze some concepts, such as the set of germs of functions, the Jacobian ideal of a germ, the codimension of a germ and finite determination. In this chapter, all the definitions will be accompanied by the results necessary for the classification of germs according to their codimension. We will see some examples using the SINGULAR software. In chapter four we studied two of the main concepts for classification by 𝒜-equivalence: stability and infinitesimal stability. We will present the necessary definitions to define them, such as that of splitting or extended tangent space. We will see some examples and end by looking at Mather's Infinitesimal Stability Theorem.