Ejercicios sobre el Método de los Elementos Finitos

Abstract

En este texto he recopilado los ejercicios que se han planteado y resuelto en las clases de Mecánica Computacional de Sólidos, asignatura de primer curso del Máster en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos de la Universitat Politècnica de València, durante los últimos cursos.

Se trata de ejercicios relativamente sencillos, para resolver a mano o usando herramientas informáticas habituales, como las hojas de cálculo o los entornos matemáticos. Están pensados para ayudar a comprender los fundamentos del método y los pasos fundamentales de su aplicación, así como algunas operaciones, técnicas o características particulares de su aplicación a ciertos problemas.

Los ejercicios relacionados con el uso de un programa convencional de Cálculo de Estructuras, basado en el Método de los Elementos Finitos, se abordan en las prácticas informáticas de la misma asignatura y no son objeto de este texto. El lector interesado en dichas prácticas puede dirigirse a Casanova Colón, J. (2016). MECÁNICA COMPUTACIONAL DE SÓLIDOS: PRÁCTICAS SOBRE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS CON SAP2000. Editorial Universitat Politècnica de València. http://hdl.handle.net/10251/67708 o consultar la explicación en vídeo de las mismas en https://media.upv.es/#/portal/channel/4a88e560-d2b2-11ec-8bc7-1d0467a82b9b

Volviendo al presente texto, consta de cinco capítulos con el siguiente contenido:

- Capítulo 1: ejercicios sobre los métodos de los Residuos Ponderados, de Petrov-Galerkin y de Bubnov-Galerkin, que constituyen la base teórica del procedimiento. Incluye una breve descripción de cada uno de los procedimientos basada en ejemplos unidimensionales, así como la justificación de la equivalencia, en problemas de Mecánica de Sólidos Deformables, de los métodos de Petrov-Galerkin y Bubnov-Galerkin con el Teorema de los Trabajos Virtuales.

- Capítulo 2: ejercicios sobre la determinación de la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales de un elemento finito rectangular o triangular en un problema de tensión plana; sobre la determinación de las tensiónes en el mismo elemento, una vez resuelto el problema; y sobre el ensamblaje del sistema de ecuaciones de rigidez de un cuerpo sencillo y la imposición de las condiciones de contorno cinemáticas en él.

- Capítulo 3: se abordan los mismos extremos del capítulo anterior pero ahora sobre un elemento finito cuadrangular, isoparamétrico del rectangular del capítulo anterior. Se profundiza en la determinación de tensiones en cuerpo completo, planteando la extrapolación de las obtenidas en los puntos de colocación óptima a los nodos y el promedio de los valores hallados en el mismo nodo a partir en los diferentes elementos que confluyen en él. Así mismo, se presenta un ejercicio de condensación estática para eliminar un nodo interno de la formulación.

- Capítulo 4: se dedica a la aplicación del MEF a problemas de flexión de vigas y el análisis de los resultados que proporcionan los elementos finitos desarrollados en las clases de teoría. En un primer ejercicio, bastante largo, primero se resuelve a mano el problema de un ménsula, solicitada por una fuerza puntual en el extremo libre, modelándola mediante tres elementos finitos; a continuación, aprovechando la experiencia de adquirida, se implementa en una hoja Excel un algoritmo que permite resolver el problema de la mensula dividiéndola en cualquier número de elementos iguales; por último, se aprovecha tal algoritmo para analizar la ménsula considerando diferentes relaciones canto/luz y distintas discretizaciones (desde 1 a 80 elementos), así como diferentes tipos de elemento finito (lagrangianos lineales con integración completa, lagrangianos lineales con integración reducida y el elemento natural de la teoría de vigas de Timoshenko), para comprobar la eficiencia de cada uno de ellos y su susceptibilidad la bloqueo. En un segundo ejercicio se desarrolla un elemento finito de viga de Timoshenko interpolando las flechas y los giros con polinomios lagrangianos, cuadráticos en el primer caso y lineales en el segundo. Se comprueba que tal elemento es susceptible de sufrir bloqueo por cortante estudiando la parte de la matriz de rigidez asociada a las deformaciones por cortante y, finalmente, se elimina el grado de libertad interno por condensación estática.

- Capítulo 5: se dedica a mostrar las ideas fundamentales involucradas en los elementos de deformación por cortante impuesta y los elementos discretos de Kirchhoff, todos ellos propios de la aplicación del MEF a problemas de placa. Todo ello se plantea a partir de ejemplos de viga, más simples por ser de menor dimensión. En el primer ejercicio de desarrolla un elemento de viga de Timoshenko basado en interpolar flechas y giros usando polinomios de Lagrange cuadráticos, en el segundo se transforma imponiendo un determinado patrón de deformaciones por cortante, en el tercero se genera el equivalente a un elemento discreto de Kirchhoff para problemas de vigas y en el cuarto se analizan los resultados obtenidos con cada uno de ellos de forma similar a como se hizo en el tercer apartado del primer problema del capítulo 4. Además, en el primer ejercicio se analiza la susceptibildad al bloqueo por cortante del elemento desarrollado y en los dos primeros se eliminan los grados de libertad internos por condensación estática.

Las explicaciones de estos mismos ejercicios, grabadas en vídeo, se pueden consultar en https://media.upv.es/#/portal/channel/7a080340-c2d9-11ec-8b39-93ba168b6143.