Métodos iterativos para la resolución de ecuaciones matriciales no lineales

Abstract

[ES] Existen numerosas ecuaciones matriciales no lineales cuya solución no se puede encontrar analíticamente o resulta computacionalmente poco eficiente su obtención mediante métodos directos. Por ello, se trasladará al contexto matricial algunos de los métodos iterativos que han dado buenos resultados en los casos escalar y vectorial. Algunos de estos esquemas ya han sido extendidos al ámbito matricial, como el de Newton, propuesto por el Prof. Schulz, y otros son susceptibles de esta adaptación, como los esquemas de Ostrowski, Halley, etc. Entre otras ecuaciones, se centrarán en dos: una que proporciona una aproximación de la inversa de una matriz no singular o una estimación de diferentes inversas generalizadas como la de Moore-Penrose, Drazin, etc; la otra tiene por solución la raíz cuadrada de una matriz. Sobre estos problemas se comenzará con el diseño y adaptación del método iterativo, para posteriormente analizar su convergencia, llevar a cabo su implementación y comprobar su eficiencia sobre matrices de gran tamaño.

[EN] There are numerous nonlinear matrix equations whose solution cannot be found analytically or it is computationally inefficient to obtain them by direct methods. For this reason, some of the iterative schemes that have given good results in the scalar and vectorial cases will be extended to the matrix context. Some of these algorithms have already been extended to the matrix field, such as Newton's, proposed by Prof. Schulz, and others are susceptible to this adaptation, such as the Ostrowski, Halley, etc. Among other equations, will be focus on two: one that provides an approximation of the inverse of a non-singular matrix or an estimate of different generalized inverses such as Moore-Penrose, Drazin, etc; the other has as its solution the square root of a matrix. On these problems, it will begin with the design and adaptation of the iterative method, to later analyze its convergence, carry out its implementation and check its efficiency on big matrices.