Alexandroff Spaces

Abstract

[ES] Un espacio topológico de Alexandroff es un tipo especial de espacio topológico que verifica que la intersección arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Equivalentemente, cualquier punto del espacio posee un entorno abierto minimal. Estos espacios fueron introducidos en [Alexandroff, 1937] donde se demuestra una propiedad esencial de estos espacios: la equivalencia entre la categoría de los espacios de Alexandroff cuyos morfismos son las funciones continuas y la categoría de espacios preordenados cuyos morfismos son las funciones isótonas. A pesar de la importancia de esta propiedad, estos espacios permanecieron casi olvidados y no fue hasta hace unos años cuando se comienzan a estudiar en profundidad [Arenas, 1999]. Más recientemente, en [Richmond, 2008] se prueba que, a partir de la acción de un semigrupo sobre un conjunto, se puede construir una topología de Alexandroff considerando como base de la topología el conjunto de las órbitas de la acción. De hecho, en este artículo se demuestra que existe una correspondencia biyectiva entre las topologías de Alexandroff y los semigrupos de transformación saturados. Esta nueva aproximación a los espacios de Alexandroff llevó a la introducción en [Shirazi & Golestani, 2011] de los denominados espacios de Alexandroff funcionales definidos mediante la acción del semigrupo de transformación asociado a la imagen inversa de una aplicación de un conjunto en él mismo. Estos espacios aparecieron de forma independiente en el contexto de sistemas dinámicos discretos en [Echi, 2012] bajo el nombre de espacios primales, como método para construir un flujo de Gottschalk a partir de un flujo arbitrario. Así, en los últimos años, la topología funcional de Alexandroff o topología primal ha cobrado importancia y se han estudiado algunas de sus propiedades topológicas. Sorprendentemente, en una serie reciente de artículos, Mejías, Vielma y Guale han usado la topología primal para estudiar la famosa conjetura de Collatz de teoría de números. La conjetura de Collatz, también llamada problema 3n+1, se formuló como problema abierto en la primera mitad del siglo XX. Aunque el enunciado de la conjetura es muy sencillo, matemáticos de distintas áreas la han estudiado durante años sin lograr probarla o refutarla (véase [Lagarias, 2023]). También ha sido abordada con enfoques probabilísticos (el más reciente debido a [Tao, 2022]) y enfoques computacionales (se ha verificado que es cierta para valores naturales menores a 268 ). En el caso del trabajo de [Mejías, Vielma y Guale, 2019, 2020, 2021], se aborda el problema desde un punto de vista topológico, y también algebraico (semianillos locales), de forma que obtienen proposiciones equivalentes a la conjetura de Collatz basadas en las propiedades topológicas y algebraicas del conjunto de los números naturales dotado con la topología primal asociada a la función de Collatz. De este modo, resulta muy interesante continuar con el estudio de las topologías de Alexandroff y, particularmente, de las topologías primales, y con el análisis de su aplicación al ámbito de este tipo de problemas de teoría de números. En concreto, en este trabajo se propone al estudiante: 1. Hacer una investigación bibliográfica sobre las topologías de Alexandroff y sus propiedades básicas (separación, conexión, compacidad, etc.). 2. Estudiar el comportamiento de las topologías de Alexandroff mediante operaciones de conjuntos. 3. Investigar la relación entre espacios de Alexandroff y conjuntos casiordenados. 4. Estudiar la bibliografía de espacios primales y obtener resultados sobre sus propiedades básicas (separación, conexión, compacidad, etc.) 5. Hacer una investigación bibliográfica sobre el uso de la topología primal en la conjetura de Collatz.

[EN] An Alexandroff topological space is a topological space where the arbitrary intersection of open sets is also an open set. Equivalently, every point of the space has a minimal open neighborhood. These spaces were introduced in [Alexandroff, 1937] where it was shown an essential property of these spaces: the equivalence between the category of Alexandroff spaces whose morphisms are the continuous functions and the category of preordered sets whose morphisms are the isotone functions. Despite the importance of this property, these spaces remained almost forgotten and it was not until a few years ago that they began to be studied in depth [Arenas, 1999]. More recently, in [Richmond, 2008] it is proven that, based on the action of a semigroup on a set, an Alexandroff topology can be constructed considering the set of orbits of the action as the basis of the topology. In fact, in this article, it is shown that there is a bijective correspondence between Alexandroff topologies and saturated transformation semigroups. This new approach to Alexandroff spaces led to the introduction in [Shirazi & Golestani, 2011] of the so-called functional Alexandroff spaces defined through the action of the transformation semigroup associated with the inverse image of an application of a set on itself. These spaces appeared independently in the context of discrete dynamical systems in [Echi, 2012] under the name primal spaces, as a method to construct a Gottschalk flow from an arbitrary flow. Thus, in recent years, Alexandroff functional topology or primal topology has gained importance and some of its topological properties have been studied. Surprisingly, in a recent series of papers, Mejías, Vielma and Guale have used the primal topology to study the famous Collatz conjecture of number theory. The Collatz conjecture, also called the 3n+1 problem, was formulated as an open problem in the first half of the 20th century. Although the statement of the conjecture is very simple, mathematicians from different areas have studied it for years without being able to prove or refute it (see [Lagarias, 2023]). It has also been tackled with probabilistic methods (the most recent due to [Tao, 2022]) and computational approaches (it has been verified that it is true for natural values ¿¿less than 268). In the case of the work of [Mejías, Vielma and Guale, 2019, 2020, 2021], the problem is addressed from a topological point of view, and also algebraic (local semi-rings), so that they have obtained propositions equivalent to the Collatz conjecture. based on the topological and algebraic properties of the set of natural numbers endowed with the primal topology associated with the Collatz function. In this way, it is very interesting to continue with the study of Alexandroff topologies and, particularly, of primal topologies, and with the analysis of their application to the field of this type of number theory problems. Specifically, this work proposes to the student: 1. To develop bibliographical research on Alexandroff topologies and their basic properties (separation, connectedness, compactness, etc.). 2. To study the behavior of Alexandroff topologies through set operations. 3. Investigate the relationship between Alexandroff spaces and quasi-ordered sets. 4. Study the literature on primal spaces and obtain results on their basic properties (separation, connectedness, compactness, etc.) 5. Make a bibliographical research on the use of primal topology in the Collatz conjecture.