A vueltas con la modelización del vaciado de depósitos

Abstract

[EN] We present a comprehensive analysis of a classical problem related to emptying tanks, which have a shape resembling a solid of revolution and feature a circular hole at their base through which the liquid is discharged. In this work, we derive the differential equation describing the liquid height within the tank at any given time, h(t), and the total emptying time, T. Both solutions are expressed in terms of the geometric characteristics of the revolution curve that generates the tank's volume and the friction coefficient of the liquid as it exits the tank. While we provide explicit expressions for h(t) (in the case of a cylinder) and for T (in the case of a cylinder, a truncated cone, and a sphere), we demonstrate that, in general, obtaining explicit expressions for both quantities is not always feasible. To illustrate this, we present two examples and describe a computational methodology for determining h(t) and T, which is easily adaptable to address the general case of any permissible revolution curve. We employ various problem-solving strategies to discuss the results obtained throughout the study. These include analyzing from the particular to the general, examining limiting cases, and ensuring coherence in the physical interpretation of the response by analyzing its sensitivity to changes in the model's parameters, among others. These strategies are designed to facilitate the understanding of the ideas presented in the article and their application in an educational setting.

[ES] Presentamos el estudio general de un problema clásico de vaciado de depósitos cuya forma es un sólido de revolución y que tiene un agujero circular en su base por donde se desaloja el líquido. Para ello, obtenemos la ecuación diferencial que describe la altura del líquido contenido en el depósito en cada instante temporal, h(t), así como el tiempo de vaciado, T. Ambas respuestas se dan en términos de las características geométricas de la curva de revolución que genera la forma sólida del depósito y del coeficiente de fricción del líquido al producirse su desalojo del depósito. Aunque se proporcionan respuestas explicitas de h(t) (en el caso de un cilindro) y de T (en el caso de un cilindro, un cono truncado y una esfera), mostramos que, en general, no es posible obtener expresiones explícitas de ambas cantidades. Para ilustrar esta última situación se muestran dos ejemplos donde describimos una metodología computacional para determinar h(t) y T, la cual es fácilmente adaptable para abordar el caso general de cualquier curva de revolución admisible. En la discusión de los distintos resultados que se obtienen a lo largo del trabajo se hace uso de diferentes estrategias propias del proceso de Resolución de Problemas, como el análisis de lo particular a lo general, el estudio de casos límites, la coherencia de la interpretación física de la respuesta a partir del análisis de la sensibilidad de la misma ante el cambio de uno de los parámetros del modelo, etc., que están diseñadas para ayudar a que las ideas expuestas a lo largo del artículo puedan aprovecharse en el aula.