Efficient Numerical Methods for Solving Nonlinear Problems

Abstract

[ES] La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales es fundamental en muchas disciplinas científicas y de ingeniería, incluyendo la física, la química, la biología, la economía y la informática. Los métodos numéricos son cruciales para resolver estas ecuaciones debido a su complejidad, que a menudo resulta en múltiples soluciones o en la ausencia de ellas, lo que hace que los métodos analíticos tradicionales sean inadecuados. Esta investigación se centra en el desarrollo y análisis de nuevos esquemas iterativos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales, enfatizando la convergencia, la estabilidad y la eficiencia computacional. Como parte de esta investigación se publicaron tres artículos clave. El primer artículo introduce una novedosa familia de métodos iterativos de dos pasos derivada de un esquema de Newton amortiguado, que incluye un paso adicional de Newton con una función de peso y una derivada "congelada". Esta familia, inicialmente una clase de cuatro parámetros con convergencia de primer orden, se convierte en una familia de un solo parámetro con convergencia de tercer orden, que además muestra una estabilidad y eficiencia excepcionales, validadas mediante pruebas numéricas. El segundo artículo presenta un nuevo método iterativo de tres pasos, inicialmente una familia de tres parámetros de cuarto orden que acelera a una familia de un solo parámetro de sexto orden. La convergencia, la dinámica compleja y el comportamiento numérico de este método son estudiados a fondo, identificando miembros estables adecuados para problemas prácticos. El tercer artículo extiende la familia de sexto orden a sistemas de ecuaciones no lineales, creando un esquema de un solo parámetro altamente eficiente. Los análisis dinámicos y numéricos confirman la convergencia, estabilidad y aplicabilidad de esta familia extendida para problemas de gran escala. La investigación tiene como objetivo superar las limitaciones de algunos métodos existentes, ofreciendo soluciones robustas y eficientes para ecuaciones y sistemas no lineales. El documento está estructurado para cubrir el desarrollo, análisis y validación de estos métodos, proporcionando recomendaciones específicas para su aplicación práctica en varios dominios científicos y de ingeniería.

[CA] La resolució d'equacions i sistemes d'equacions no lineals és fonamental en moltes disciplines científiques i d'enginyeria, incloent la física, la química, la biologia, l'economia i la informàtica. Els mètodes numèrics són crucials per a resoldre aquestes equacions a causa de la seua complexitat, que sovint resulta en múltiples solucions o en l'absència d'elles, la qual cosa fa que els mètodes analítics tradicionals siguen inadequats. Aquesta investigació se centra en el desenvolupament i anàlisi de nous esquemes iteratius per a resoldre equacions i sistemes d'equacions no lineals, emfatitzant la convergència, l'estabilitat i l'eficiència computacional. Com a part d'aquesta investigació es van publicar tres articles clau. El primer article introdueix una nova família de mètodes iteratius de dos passos derivada d'un esquema de Newton esmorteït, que inclou un pas addicional de Newton amb una funció de pes i una derivada "congelada". Aquesta família, inicialment una classe de quatre paràmetres amb convergència de primer ordre, es converteix en una família d'un sol paràmetre amb convergència de tercer ordre, que a més mostra una estabilitat i eficiència excepcionals, validats mitjançant proves numèriques. El segon article presenta un nou mètode iteratiu de tres passos, inicialment una família de tres paràmetres de quart ordre que accelera a una família d'un sol paràmetre de sisè ordre. La convergència, la dinàmica complexa i el comportament numèric d'aquest mètode són estudiats a fons, identificant membres estables adequats per a problemes pràctics. El tercer article amplia la família de sisè ordre a sistemes d'equacions no lineals, creant un esquema d'un sol paràmetre altament eficient. Els anàlisis dinàmics i numèrics confirmen la convergència, estabilitat i aplicabilitat d'aquesta família ampliada per a problemes de gran escala. La investigació té com a objectiu superar les limitacions d'alguns mètodes existents, oferint solucions robustes i eficients per a equacions i sistemes no lineals. El document està estructurat per a cobrir el desenvolupament, anàlisi i validació d'aquests mètodes, proporcionant recomanacions específiques per a la seua aplicació pràctica en diversos dominis científics i d'enginyeria.

[EN] The resolution of non-linear equations and systems is fundamental in various scientific and engineering fields, including physics, chemistry, biology, economics, and computer science. Numerical methods are crucial for solving these equations due to their complexity, which often results in multiple or no solutions, rendering traditional analytical methods inadequate. This research focuses on developing and analyzing new iterative schemes for solving non-linear equations and systems, emphasizing convergence, stability, and computational efficiency. Three key papers were published as part of this research. The first paper introduces a novel family of two-step iterative methods derived from a damped Newton scheme, which includes an additional Newton step with a weight function and a "frozen" derivative. This family, initially a four-parameter class with first-order convergence, becomes a single-parameter family with third-order convergence, which also exhibits exceptional stability and efficiency, validated through numerical tests. The second paper presents a new three-step iterative method, initially a three-parameter fourth-order family, which accelerates to a single-parameter sixth-order family. This method's convergence, complex dynamics, and numerical behavior are thoroughly studied, identifying stable members suitable for practical problems. The third paper extends the sixth-order family to systems of non-linear equations, creating a highly efficient single-parameter family. Dynamic and numerical analyses confirm the convergence, stability, and applicability of this extended family for large-scale problems. The research aims to overcome the limitations of some existing methods, offering robust and efficient solutions for non-linear equations and systems. The document is structured to cover the development, analysis, and validation of these methods, providing specific recommendations for their practical application in various scientific and engineering domains.