A shape sensitivity analysis module with geometric representation by NURBs for a 2D finite element program based on Cartesian meshes independent of the geometry

Abstract

[ES] El Método de los Elementos Finitos se ha convertido en una de las técnicas más potentes y más ampliamente utilizadas para encontrar soluciones aproximadas de las ecuaciones diferenciales que rigen numerosos tipos problemas ingenieriles. Los procesos de optimización de forma en componentes mecánicos requieren que la información de los gradientes (sensibilidades) de las magnitudes de interés esté calculada con suficiente precisión. En este sentido, en esta tesis de máster, ha sido desarrollado un módulo de cálculo de sensibilidades de forma con representación geométrica mediante NURBs (Non-Uniform Rational B-splines) para un programa de análisis de problemas elásticos lineales, resueltos mediante el MEF dentro de un entorno de mallados cartesianos 2-D independientes de la geometria, Cartesian Grid-FEM, con vistas a una futura implementación 3-D. En primer lugar, se ha implementado, a traves de interfaz gráfica, la posibilidad de crear entidades geométricas tipo NURB, que se han convertido en los últimos años en la tecnología gráfica más usada en el campo del diseño en ingeniería. Este tipo de curvas son muy adecuadas para el modelado de todo tipo de superficies y pueden representar exactamente secciones cónicas, es decir, circunferencias, cilindros o esferas entre otras, que no podían ser representadas con la técnica de representación geométrica hasta ahora implementada basada en el uso de splines. En segundo lugar, se ha adaptado la teoría existente en MEF estándar sobre el cálculo de sensibilidades de forma, a un entorno basado en mallas cartesianas independientes de la geometría, lo que implica, por ejemplo, la necesidad de implementación de nuevos métodos de creación del campo de velocidades, que es un paso crucial en este tipo de análisis. Los resultados obtenidos muestran que la utilización de curvas tipo NURB suponen la disminución significativa del error geométrico durante el cálculo de EF, y que el módulo de cálculo implementado es capaz de crear diversas alternativas de campo de velocidades dando muy buenos resultados en la obtención de las sensibilidades.

[EN] The Finite Element Method has become one of the most powerful and widely used techniques to find approximate solutions of differential equations governing many types of engineering problems. Optimization processes of mechanical components require that the information of the gradients (sensitivity) of the magnitudes of interest is calculated with sufficient accuracy. The aim of this master thesis is to develop a module for calculation of shape sensitivities with geometric representation by NURBs (Non-Uniform Rational B-Splines) for a program created to analize linear elastic problems, solved by FEM using 2-D cartesian meshes independent of geometry, Cartesian Grid-FEM, looking at a future 3-D implementation. First, it has been implemented, through graphical interface, the ability to create NURB geometric entities, which have become in recent years in the most used geometric technology in the field of engineering design. Such curves are very suitable for modeling all types of surfaces and can accurately represent conic sections, i.e., circles, cylinders or spheres, among others, that could not be represented with the geometric representation technique so far implemented based on splines. Secondly, theory on calculation of shape sensitivities, for standard FEM, has been adapted to an environment based on cartesian meshes independent of geometry, which implies, for instance, the need to implement new methods of velocity field generation, which is a crucial step in this kind of analysis. The results show that the use of NURB curves involve significant decrease of geometrical error during FE calculation, and that the calculation module implemented is able to create several alternative velocity field giving back good results in different sensitivities analyses.

[CA] El Mètode dels Elements Finits s¿ha convertit en una de les tècniques més potents i més àmpliament utilitzades per a trobar solucions aproximades de les equacions diferencials que regixen nombrosos tipus problemes en enginyeria. Els processos d¿optimització de forma en components mecànics requerixen que la informació dels gradients (sensibilitats) de les magnituds d¿interés estiga calculada amb suficient precisió. En este sentit, en esta tesi de màster, ha sigut desenrotllat un mòdul de càlcul de sensibilitats de forma amb representació geomètrica per mitjà de NURBs (Non-Uniform Rational B-splines) per a un programa d¿anàlisi de problemes elàstics lineals, resolts per mitjà del MEF dins d¿un entorn de malles cartesians 2-D independents de la geometria, Cartesian Grid-FEM, amb vista a una futura implementació 3-D. En primer lloc, s¿ha implementat, a través d¿interfície gràfica, la possibilitat de crear entitats geomètriques tipus NURB, que s¿han convertit en els últims anys en la tecnologia gràfica més usada en el camp del disseny en enginyeria. Este tipus de corbes son molt adequades per al modelatge de qualsevol tipus de superfícies i poden representar exactament seccions còniques, és a dir, circumferències, cilindres o esferes entre altres, que no podien ser representades amb la tècnica de representació geomètrica fins ara implementada basada en l¿ús de splines. En segon lloc, s¿ha adaptat la teoria existent en MEF estàndard sobre el càlcul de sensibilitats de forma, a un entorn basat en malles cartesianes independents de la geometria, la qual cosa implica, per exemple, la necessitat d¿implementació de nous mètodes de creació del camp de velocitats, que és un pas crucial en este tipus d¿anàlisi. Els resultats obtinguts mostren que la utilització de corbes tipus NURB suposen la disminució significativa de l¿error geomètric durant el càlcul d¿EF, i que el mòdul de càlcul implementat és capaç de crear diverses alternatives de camp de velocitats donant molt bons resultats en l¿obtenció de les sensibilitats.