Dinámica de los métodos iterativos en la resolución de ecuaciones no lineales

Abstract

[ES] En este trabajo se estudia la dinámica de algunos métodos iterativos empleados para resolver ecuaciones no lineales. Se describirán a detalle algunas características de las funciones racionales obtenidas al aplicar estos métodos a polinomios de una variable compleja con el fin de aproximar sus raíces. Una de estas características consiste en que, a partir de la acción de iterar sucesivamente dichas funciones racionales, se induce una división del plano complejo en dos conjuntos, el de Julia y el de Fatou. El estudio de estos dos conjuntos permite el desarrollo de la teoría de iteraciones de funciones racionales y motiva la elaboración del presente trabajo bajo dos enfoques. El primero, que trata del estudio de las propiedades dinámicas de los métodos iterativos relacionadas con su eficiencia como algoritmos numéricos (convergencia y limitaciones algorítmicas). Y el segundo, que trata del análisis de las regiones de convergencia (cuencas de atracción) y del comportamiento caótico de su frontera, que nos permitirá generar gráficos sorprendentes (fractales) con ayuda del ordenador.

[EN] In this work it is studied the dynamics of some iterative methods to solve non-linear equations. Some characteristics of the rational functions obtained upon applying these iterative root-finding methods to complex polynomials will be described in detail. One of these characteristics consists of a division of the complex plane in two sets, Julia and Fatou, from the iterative action of rational functions. The study of these two sets permits the development of the iteration theory of rational functions and motivates the elaboration of the present work under two points of view. The first one, that tries the study of the dynamic properties of the iterative methods related to their efficiency as numerical algorithms (convergence and algorithm limitations). And the second one, that tries the analysis of the regions of convergence (basins of attraction) and the chaotic behavior on its boundary, which will allow us to generate beautiful graphics (fractals) with the aid of the computer.