Simulación eficiente de las relaciones río-acuífero en sistemas de utilización conjunta mediante técnicas de reducción de modelos lineales invariantes en el tiempo

Abstract

En este trabajo se ha estudiado la posibilidad de usar algunas t ecnicas de reducci on para lograr una simulaci on m as e ciente del ujo subterr aneo en los acu feros contenidos en modelos de uso conjunto. As , el principal enfoque de esta investigaci on ha sido relacionar la parametrizaci on de las relaciones r o-acu fero con las caracter sticas del modelo reducido para encontrar los efectos de dicha parametrizaci on sobre la e ciencia de la reducci on. La primera metodolog a propuesta, denominada M etodo de los AutoValores con Compresi on Selectiva y Enmascaramiento Modal (MAV-CSEM), puede reducir dram aticamente el tama~no de un modelo de ujo subterr aneo, aumentando la e ciencia de su ejecuci on y disminuyendo la memoria virtual requerida. A efectos pr acticos, el MAV-CSEM utiliza los siguiente conceptos novedosos: (i ) modos efectivos, (ii ) modos residuales, (iii ) l mite de participaci on modal, (iv ) m ascara de estados efectivos y (v) nivel de continuidad. Este marco conceptual no solamente ayuda a identi car los modos que m as contribuyen a la respuesta del acu fero por causa de las excitaciones externas, sino que tambi en ayuda a lograr una simulaci on m as r apida del ujo en el acu fero que la obtenida por el MAV cl asico. La principal ventaja del MAV-CSEM es que, aumentando el n umero de celdas del modelo, se puede considerar m as detalladamente la variabilidad espacial de los par ametros hidr aulicos del acu fero en la modelaci on del ujo subterr aneo, sin que la e ciencia computacional de las simulaciones se vea considerablemente afectada, especialmente cuando dicho acu fero forma parte del modelo de un sistema de uso conjunto. El MAV-CSEM ha sido probado en acu feros rectangulares homog eneos simples. Los resultados obtenidos tienen un comportamiento similar a los simulados usando el MAV cl asico o las Diferencias Finitas (DF), pero la simulaci on es mucho m as e ciente. Se ha efectuado un an alisis de sensibilidad del impacto de cambiar la parametrizaci on de las condiciones de contorno tipo r o, en funci on de la conductancia del lecho, sobre algunos par ametros de control del acu fero como las alturas piezom etricas, los vol umenes almacenados y los caudales de intercambio r o-acu fero. De los resultados de dicho an alisis se concluye que, al disminuir la conductancia del r o, se mejora el comportamiento del MAV-CSEM por que se necesitan menos modos para obtener resultados con ables en las variables antes mencionadas. El MAV-CSEM permite desarrollar criterios de base f sica para generar modos efectivos m as e cientemente, para remover los modos residuales y para construir las m ascaras de estados efectivos que aceleran la ejecuci on de las simulaciones. En base a estas ideas, se han propuesto algoritmos para generar los modos efectivos y con gurar las m ascaras de estados efectivos. Estos algoritmos se basan en m etodos iterativos para resolver Problemas Generalizados de AutoValores Sim etricos y Dispersos (PGAVSD), combin andolos con ndices de base f sica que permiten evaluar la efectividad de un modo generado y detener la secuencia de generaci on modal. La detecci on de los modos efectivos se ha basado en la evaluaci on de sus coe cientes de reparto, compar andolos con el l mite de participaci on modal impuesto. La parada de la generaci on de los modos efectivos ha sido evaluada calculando los coe cientes de reparto acumulados modales y compar andolos con el nivel de conservaci on impuesto sobre el modelo reducido. Las ventajas de incluir dichos criterios en la resoluci on de un PGAVSD son: (i ) se evita la ejecuci on de operaciones innecesarias, (ii ) se preserva la ecuaci on de continuidad para el volumen que entra al acu fero proveniente de las acciones exteriores de forma relativamente adecuada y (iii ) al usar algoritmos iterativos basados en el producto matriz-vector disperso para resolver PGAVSD, se mantiene la estructura dispersa de las matrices que componen el modelo de ujo, la cual se puede usar para ahorrar operaciones computacionales y disminuir el almacenamiento requerido en las simulaciones. En este trabajo se han implementado dos generadores dispersos de modos efectivos. El primero de ellos est a basado en una modi caci on de la iteraci on de gradiente conjugado con de aci on que usa precondicionamiento ILU para acelerar las iteraciones vectoriales y minimizar el cociente de Rayleigh. La antes mencionada generaci on vectorial ha probado ser muy e ciente cuando es necesario calcular una peque~na cantidad de los modos asociados a los autovalores de menor magnitud. El algoritmo genera cada modo, calcula sus coe cientes de reparto para veri car si dicho modo es efectivo, eval ua los coe cientes de reparto acumulados y veri ca el criterio de parada para nalizar la generaci on. El segundo generador de modos efectivos est a basado en la iteraci on racional de Lanczos con reinicio expl cito y reortogonalizaci on parcial para calcular secuencialmente subconjuntos de modos. El reinicio expl cito aplica una de aci on sobre un nuevo vector inicial de Lanczos para prevenir la convergencia a uno de los autovectores previamente disponibles. Una vez que cada reinicio ha construido otro conjunto de modos, el generador calcula los coe cientes de reparto de cada nuevo modo para detectar cuales de estos son efectivos. El proceso se repite para todos los nuevos modos. Posteriormente, se calculan los coe cientes de reparto acumulados y el generador revisa si se ha alcanzado el criterio de parada de la generaci on para todas las acciones exteriores. Si dicho criterio no ha sido alcanzado, se efect ua un nuevo reinicio imponiendo un desplazamiento espectral conveniente para mejorar la convergencia modal. Los resultados de muchos experimentos num ericos efectuados han demostrado que el generador racional de Lanczos es muy e ciente, incluso para modelos de ujo subterr aneo de gran tama~no donde el dominio espacial del acu fero ha sido discretizado usando decenas de miles de nodos pertenecientes a una malla de DF. Los generadores propuestos han sido usados para reducir los modelos de ujo subterr aneo para: (i ) acu feros rectangulares homog eneos e is otropos conectados con un r o recto, (ii ) acu feros rectangulares heterog eneo conectados con un r o recto y (iii ) un acu fero altamente heterog eneo con contornos irregulares, conectado con un r o sinuoso e inclinado. Los resultados de las simulaciones muestran que la generaci on iterativa es m as e ciente que calcular el espectro completo del PGAVSD y permite reducir modelos heterog eneos de gran tama~no, a un cuando muchas acciones exteriores est an aplicadas sobre el acu fero. Tambi en se ha propuesto una extensi on del M etodo racional de LANczos (MLAN) para reducir e cientemente las relaciones r o-acu fero en modelos de sistemas de uso conjunto. El MLAN cl asico se usa para generar una base ortogonal de un subespacio de Krylov de reducci on. Adem as, los factores de participaci on acumulados de los vectores de Lanczos se usan como criterio de parada de la generaci on antes mencionada, evaluando si la ecuaci on de conservaci on de masa para el volumen de agua entrando de las acciones exteriores se satisface apropiadamente. El esquema de reducci on se aplica sobre el modelo de ujo subterr aneo con el prop osito de ensamblar una secuencia de sistemas de ecuaciones lineales reducidas, cuyas soluciones representan los estados del acu fero a lo largo del horizonte de simulaci on. Para hacer posible el c alculo de los vol umenes agregados de intercambio entre el r o y el acu fero, se ha propuesto un esquema de integraci on num erica temporal de los estados de Lanczos; tambi en se incluye el concepto de par ametros de control en el MLAN con el n de acelerar los c alculos de las relaciones r o-acu fero y otras variables de estado requeridas. Por ultimo, el MLAN ha sido probado para reducir los modelos de

ujo en acu fero rectangulares homog eneos. Los resultados han sido comparados con los obtenidos mediante: (i ) modelos pluricelulares englobados, (ii ) modelos resueltos usando el MAV cl asico y (iii ) modelos resueltos por DF espacio-temporales. Se ha encontrado que el MLAN se comporta mejor que las DF, alcanzando un desempe~no comparable al exhibido por el MAV cl asico con truncamiento conservativo, pero es menos e ciente que los modelos pluricelulares englobados. Un an alisis del impacto de modi car la parametrizaci on de las relaciones r o-acu fero, en funci on de la conductancia de r o, sobre algunos par ametros de control como alturas piezom etricas, vol umenes almacenados y ujos internos, ha demostrado que, al disminuir dicha conductancia, el desempe~no del MLAN mejora por que se necesitan menos vectores de Lanczos para obtener resultados adecuados. El MAV-CSEM, junto con el MLAN, han probado ser poderosas herramientas para reducir modelos de ujo subterr aneo de gran tama~no. Aqu , el MAV-CSEM y el MLAN han sido aplicados para reducir dos acu feros lineales altamente discretizados, complejos y heterog eneos. El primero es un acu fero rectangular, conectado con un r o recto, compuesto por tres bandas con propiedades hidr aulicas uniformes. El segundo es un acu fero altamente heterog eneo y anis otropo, de contornos irregulares, conectado con un r o sinuoso e inclinado. En ambos acu feros, la aplicaci on de cada t ecnica de reducci on ha consistido en un an alisis de sensibilidad de la in uencia de modi car la parametrizaci on de las relaciones r o-acu fero, en funci on de la conductancia del r o y de los par ametros de reducci on (l mite de participaci on modal para MAV-CSEM y tama~no del subespacio de Krylov de reducci on para el MLAN), en la representaci on m as adecuada de algunos par ametros de control seleccionados, como lo son las alturas piezom etricas, los vol umenes almacenados y los ujos internos. Los resultados han mostrado el poder de ambas t ecnicas para reducir e cientemente los modelos de ujo subterr aneo planteados. Sin embargo, las principales diferencias encontradas entre ambos son: (i ) el MAV-CSEM es m as demandante computacionalmente para calcular el subespacio de reducci on de autovectores, pero su ejecuci on del modelo de ujo es m as r apida, (ii ) el MLAN calcula m as adecuadamente las variables distribuidas en el acu fero como alturas piezom etricas, vol umenes almacenados y ujos internos si la parametrizaci on de la iteraci on de Lanczos se realiza apropiadamente y (iii ) el MAV-CSEM obtiene m as e ciente y adecuadamente las relaciones r o-acu fero agregadas a lo largo de toda la red de drenaje. La principal conclusi on de estas aplicaciones es que la selecci on de uno u otro m etodo de reducci on depende del tipo de problema que se est a enfrentando y de los par ametros de control requeridos por este.