Espacios métricos fuzzy definidos por t-normas

Abstract

Se prosigue con el estudio de los espacios métricos fuzzy introducidos por George y Veeramani. Se aportan nuevas propiedades y se tratan cuestiones como la completación, la continuidad uniforme y teoremas de punto fijo. Se introducen nuevos ejemplos (alguno de ellos de especial relevancia) y se dan resultados acerca de la precompacidad en espacios métricos fuzzy. Además, se desarrolla el estudio de las métricas fuzzy no arquimedianas y se aborda la cuestión de la completación de los espacios métricos fuzzy y se comprueba que, en este aspecto, existe una diferencia significativa con la teoría de los espacios métricos, pues no todo espacio métrico fuzzy admite completación. Se estudia la noción de continuidad uniforme y se definen los conceptos de equinormalidad y propiedad de Lebesgue para una métrica fuzzy ("análogos" a los clásicos) que permiten demostrar un teorema en el que se caracterizan los espacios métricos fuzzy en los que toda función real continua es uniformemente continua por el hecho de que la métrica fuzzy sea equinormal o cumpla la propiedad de Lebesgue. Además, se introduce el concepto de continuidad t-uniforme (que no tiene "homólogo" en la teoría clásica pero está estrechamente relacionado con la noción de contractividad que se aporta en el último capítulo) que permite caracterizar los espacios métricos fuzzy en los que toda función real continua es t-uniformemente continua mediante una adecuada definición de métrica fuzzy t-equinormal. Por último se introduce el concepto de aplicación contractiva fuzzy y se obtienen teoremas de punto fijo para este tipo de aplicaciones en espacios métricos fuzzy. Se establece que toda aplicación contractiva fuzzy en un espacio métrico fuzzy completo en el que toda sucesión contractiva fuzzy es una sucesión de Cauchy posee un único punto fijo.