Determinación y propiedades de H-matrices

Abstract

[EN] The essential topic of this memory is the study of H-matrices as they were introduced by Ostrowski and hereinafter extended and developed by different authors. In this study three slopes are outlined: 1) the iterative or automatic determination of H-matrices, 2) the properties inherent in the H-matrices and 3) the matrices related to H-matrices. H-matrices acquire every time major relevancy due to the fact that they arise in numerous applications so much in Mathematics, since in the Industry between. Between these applications we can mention the following ones: 1) in the discretization of certain parabolic non-linear equations, 2) in the system resolution of linear equations, assuring his presence the convergence of iterative classic methods and 3) in the resolution of problems of free contour in Analysis of Fluids. It is very important to observe that some H-matrices transform in H- matrices for the action of some matrix operation on them. Such it is the case of the matrix operation known as Hadamard's Product, that is to say, the product element to element of two matrices. If this product realizes between the elements of a matrix and the elements of its inverse transpose then this matrix product is called combined matrix. The combined matrix is an H- matrix under certain conditions of the original matrix and, in addition, the combined matrix is linked to applications very important as the Relative Gain in chemical processes or the relation between the eigenvalues of the original matrix and the elements of a diagonalizable matrix. In addition, provided that the sum of every row and of every column is equal to one, in those cases in which the combined matrix is not negative, C(A) is a doubly stochastic matrix and therefore it is of great usefulness in the Statistical Theory. The present memory is structured of the following way. In the first chapter, after the introduction, we present the notation, the basic concepts and previous results developed by other authors and that are going to be used largely in the memory. xiii xiv In the Chapter 2 we present and analyze different algorithms that have been proposed by the aim to determine when a given matrix is or is not an H-matrix. It is emphasized in the study of those algorithms that have turned out to be the most efficient and in the most relevant part of this chapter we present a new algorithm that turns out to be a contribution to the literature of the algorithms for the determination or identification of H-matrices, as well as of his character. In the Chapter 3 we widely studied the combined matrix of a nonsingular H-matrices and we obtain new and important properties of the combined matrix of H-matrices. In the Chapter 4 we calculate the combined matrix of diagonally dominant and equipotent matrices and also we obtain new and important results that relate the combined matrix of these diagonally dominant and equipotent matrices to H-matrices. In Chapter 5, like summary, we outline the principal achievements reached during the development of this memory and, in addition, enumerate the works on which already we are working and also we present some of the principal lines of investigation for the near future. Finally, in the appendices we present, in format MATLAB, different algorithms studied in Chapter 2 that make the automatic determination of H-matrices as a purpose. Especially, is outlined the codification of the new algorithm proposed with each of its parts in the correct order to be run in the computer.

[ES] El tema esencial de esta memoria es el estudio de las H-matrices tal y como fueron introducidas por Ostrowski y más adelante ampliadas y desarrolladas por diferentes autores. En ese estudio se destacan tres vertientes: 1) la determinación iterativa o automática de las H-matrices, 2) las propiedades inherentes a las H- matrices y 3) las matrices relacionadas con las H-matrices. Las H-matrices adquieren cada vez mayor relevancia debido a que surgen en numerosas aplicaciones tanto en la ciencia Matemática como en la Industria. Entre esas aplicaciones podemos citar las siguientes: 1) en la discretización de ciertas ecuaciones parabólicas no lineales, 2) en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, asegurando su presencia la convergencia de métodos iterativos clásicos y 3) en la resolucion de problemas de contorno libre en Análisis de Fluidos. Es de suma importancia observar que algunas matrices devienen en H- matrices por la acción de alguna operación matricial sobre ellas. Tal es el caso de la operación matricial conocida como Producto de Hadamard, es decir, el producto elemento a elemento de dos matrices. Si este producto se realiza entre los elementos de una matriz y los elementos de su matriz inversa traspuesta, entonces la matriz producto, denominada Matriz Combinada, puede ser una H-matriz bajo determinadas condiciones de la matriz original y, además, la matriz combinada está vinculada a aplicaciones muy importantes como la Ganancia Relativa en procesos químicos o la relación entre los valores propios de la matriz original y los elementos de una matriz diagonalizable. Además, dado que la suma de cada fila y de cada columna de una matriz combinada es exactamente igual a 1, en aquellos casos en que la matriz combinada sea no negativa, C(A) es una matriz doblemente estocástica y por tanto puede ser de gran utilidad en Estadística y Probabilidad. La memoria está estructurada por capítulos de la siguiente manera. En cada uno de ellos se presentan las aportaciones de la misma. ix x En el Capítulo 1, luego de la introducción, se da la notación y se definen los conceptos básicos y, además, se enuncian los resultados previos de ámbito general desarrollados por otros autores y que van a ser utilizados en gran parte de la memoria. En el Capítulo 2 se presentan y analizan diferentes algoritmos que han sido propuestos con el objetivo de determinar cuándo una matriz dada es o no es una H-matriz. Se hace hincapié en el estudio de aquellos algoritmos que han resultado ser los más eficientes y en la parte más relevante de este capítulo se presenta un nuevo algoritmo de menor coste computacional que los anteriores y más sencillo de programar, que resulta ser un aporte a la literatura de los algoritmos para la determinación o identificación de las H-matrices, así como de su carácter y también determina los bloques diagonales irreducibles. En el Capítulo 3 se estudia ampliamente la matriz combinada de H- matrices no singulares y se obtienen también nuevos e importantes resultados sobre las propiedades de la matriz combinada de H-matrices. Se demuestra que la matriz combinada de una H-matriz de la clase invertible es también H-matriz de la misma clase. Además, se prueba que la matriz combinada de una H-matriz de la clase mixta no singular es también H-matriz. En el Capítulo 4 se calcula la matriz combinada de matrices diagonalmente dominantes equipotentes. En particular, se demuestra que la matriz combinada de una H-matriz, denominada DmP es siempre una H-matriz de la clase mixta pero singular. Para otras H-matrices que no son DmP se prueba que su matriz combinada es H-matriz de la clase invertible. Se conjetura que todas las H-matrices de la clase mixta que no son DmP tienen esta última propiedad. En el Capítulo 5 se recogen, a modo de resumen, los principales logros alcanzados durante el desarrollo de esta memoria y, además, se enumeran los trabajos sobre los cuales ya se está trabajand

[CA] El tema essencial d'aquesta memòria és l'estudi de les H-matrius tal com van ser introduïdes per Ostrowski i més endavant ampliades i desenvolupades per diferents autors. En aqueix estudi es destaquen tres vessants: 1) la determinació iterativa o automàtica de les H-matrius, 2) les propietats inherents a les H-matrius i 3) les matrius relacionades amb les H-matrius. Les H-matrius adquireixen cada vegada major rellevància a causa que sorgeixen en nombroses aplicacions tant en la ciència Matemàtica com en la Indústria. Entre aqueixes aplicacions podem citar les següents: 1) en la discretització de certes equacions parabòliques no-lineals, 2) en la resolució de sistemes d'equacions lineals, assegurant la seua presència la convergència de mètodes iteratius clàssics i 3) en la resolució de problemes de contorn lliure en Anàlisi de Fluids. És de summa importància observar que algunes matrius esdevenen en H-matrius per l'acció d'alguna operació matricial sobre elles. Tal és el cas de l'operació matricial coneguda com a Producte de Hadamard, és a dir, el producte element a element de dues matrius. Si aquest producte es realitza entre els elements d'una matriu i els elements de la seua matriu inversa trasposada, llavors la matriu producte, denominada Matriu Combinada, pot ser una H-matriu sota determinades condicions de la matriu original i, a més, la matriu combinada està vinculada a aplicacions molt importants com el Guany Relatiu en processos químics o la relació entre els valors propis de la matriu original i els elements d'una matriu diagonalitzable. A més, atès que la suma de cada fila i de cada columna d'una matriu combinada és exactament igual a 1, en aquells casos en què la matriu combinada siga no negativa, C(A) és una matriu doblement estocàstica i per tant pot ser de gran utilitat en Estadística i Probabilitat. La memòria està estructurada per capítols de la següent manera. En cadascun d'ells es presenten les aportacions de la mateixa. En el Capítol 1, després de la introducció, es dóna la notació i es defixi xii neixen els conceptes bàsics i , a més, s'enuncien els resultats previs d'àmbit general desenvolupats per altres autors i que van a ser utilitzats en gran part de la memòria. En el Capítol 2 es presenten i analitzen diferents algorismes que han sigut proposats amb l'objectiu de determinar quan una matriu donada és o no és una H-matriu. Es posa l'accent en l'estudi d'aquells algorismes que han resultat ser els més eficients i en la part més rellevant d'aquest capítol es presenta un nou algorisme de menor cost computacional que els anteriors i mes senzill de programar, que resulta ser una aportació a la literatura dels algorismes per a la determinació o identificació de les H-matrius, així com del seu caràcter i també determina els blocs diagonals irreductibles. En el Capítol 3 s'estudia àmpliament la matriu combinada d'H-matrius no singulars i s'obtenen també nous i importants resultats sobre les propietats de la matriu combinada d'H-matrius. Es demostra que la matriu combinada d'una H-matriu de la classe invertible és també H-matriu de la mateixa classe. A més, es prova que la matriu combinada d'una H-matriu de la classe mixta no singular és també H-matriu. En el Capítol 4 es calcula la matriu combinada de matrius diagonalment dominants equipotents. En particular, es demostra que la matriu combinada d'una H-matriu, denominada DmP és sempre una H-matriu de la classe mixta però singular. Per a altres H-matrius que no són DmP es prova que la seua matriu combinada és H-matriu de la classe invertible. Es conjectura que totes les H-matrius de la classe mixta que no són DmP tenen aquesta última propietat. En el Capítol 5 s'arrepleguen, a manera de resum, els principals assoliments aconseguits durant el desenvolupament d'aquesta memòria i, a més, s'enumeren els treballs sobre els quals ja s'està treballant i s'esbossen algunes de les principal