The specification property in linear dynamics

Abstract

[EN] The dynamics of linear operators, namely linear dynamics, is mainly concerned with the behaviour of iterates of linear transformations. Hypercyclicity is the study of linear operators that possess a dense orbit. Although the first examples of hypercyclic operators are due to G. D. Birkhoff (in 1929), G. R. MacLane (in 1952) and S. Rolewicz (in 1969), we can date the birth of the linear dynamics in 1982 with the unpublished PhD thesis of C. Kitai. Since then, many mathematicians have contributed to the development of this flourishing new area of the analysis.

Linear dynamics connects functional analysis and dynamics. As for the classical dynamical systems, one can study the dynamics of linear operators from a topological point of view. In this context, we state that an operator has the specification property (SP). Precisely, the aim of this PhD thesis is to study the specification property on linear dynamical systems. A continuous map on a compact metric space satisfies the specification property if one can approximate pieces of orbits by a single periodic orbits with a certain uniformity.

This Doctoral dissertation is a compendium of articles on the specification property. It is structured in four parts preceded by a chapter which introduces the notation, definitions and the basic results that will be needed throughout the thesis.

The shift operators on sequence spaces constitute one of the most important test ground for discrete linear dynamical systems. Due to its simple structure, every time you introduce a new property in linear dynamics it is common to check it on weighted shifts operators. It is for this reason that the first part of this research work is devoted to study the specification property for unilateral and bilateral backward shift operators on weighted l^p-spaces and the relationship with other dynamical properties.

In Chapter 3 we extend the results on the SP to shift operators on separable sequence F-spaces. An F-space is a vector space that is endowed with an F-norm and that is complete under the induced metric. The notion of an F-norm has the advantage that one can largely argue as if one was working in a Banach space. One need to be aware of the fact that the positive homogeneity of a norm is no longer available. The spaces l^p with 0 < p < 1 are F-spaces.

Chaotic dynamical systems have received a great deal of attention in recent years. An operator is chaotic if it has a dense set of periodic points. The specification property is an interesting and rather strong notion of chaos (in the topological sense).

We also consider a qualitative strengthening of hypercyclicity namely frequent hypercyclicity. It was introduced by Bayart and Grivaux, motivated by Birkhoff's ergodic theorem. An operator is frequently hypercyclic if there is some element whose orbit meets every non-empty open set very often. In Chapter 4 the specification property is deeply studied for linear and continuous operators on separable F-spaces. In addition, we are interested in finding out its relation with other dynamical properties such as mixing, Devaney chaos and frequent hypercyclicity. The results that we have achieved have been accepted to be publish in Journal of Mathematical Analysis and Applications.

Finally, in the last chapter of this dissertation, we examine the specification property for strongly continuous semigroups on Banach spaces, that is, for C_0-semigroups. They can viewed as the continuous-time analogue of the discrete-time case of iterates of a single operator; in other words, the parameter in the continuous case plays the role of the iterations in the discrete case. Now the translation semigroups substitute the shift operators as test classes. Once again, we study the relationship between the specification property and mixing, chaos and frequent hypercyclicity properties of a C_0-semigroup.

[ES] La dinámica de operadores lineales, o simplemente dinámica lineal, estudia las órbitas generadas por las iteraciones de una transformación lineal. La hiperciclicidad es el estudio de los operadores lineales que poseen una órbita densa. Si bien G. D. Birkhoff (en 1929), G. R. MacLane (en 1952) y S. Rolewicz (en 1969) obtuvieron ejemplos de operadores lineales hipercíclicos, podemos fijar el nacimiento de la dinámica lineal en 1982 con la tesis de C. Kitai. Desde entonces muchos matemáticos han contribuido al desarrollo de esta floreciente área del análisis.

La dinámica lineal conecta el análisis funcional y la dinámica. Al igual que en sistemas dinámicos clásicos, podemos estudiar la dinámica de operadores lineales desde un punto de vista topológico. En este contexto, hablamos de que un operador tiene la propiedad de especificación (SP). Precisamente, al estudio de la propiedad de especificación en sistemas dinámicos lineales está dedicada la presente tesis doctoral. Una aplicación continua en un espacio métrico satisface la propiedad de especificación si para cualquier familia de puntos podemos aproximar, con una cierta uniformidad, partes de sus órbitas por una sola órbita de un punto periódico.

La tesis es un compendio de artículos sobre la propiedad de especificación. Se estructura en cuatro partes precedidas de un capítulo dedicado a introducir la notación, definir los conceptos y enunciar los resultados de ámbito general que van a ser utilizados en el resto de la memoria.

Los operadores "shift" (desplazamiento) constituyen una de las clases más importantes, como campo de pruebas, en sistemas dinámicos lineales discretos. Debido a su estructura simple, siempre que se introduce un nuevo concepto en dinámica lineal es habitual comprobarlo sobre shifts ponderados. Por este motivo, en la primera parte de esta memoria, se estudia la propiedad de especificación para operadores desplazamiento unilaterales y bilaterales en espacios l^p ponderados y la relación con otras propiedades dinámicas.

En el capítulo 3 se generalizan los resultados sobre la propiedad SP a operadores desplazamiento en F-espacios separables de sucesiones. Un F-espacio es un espacio vectorial, dotado de una F-norma, que es completo con la métrica inducida. La noción de F-norma tiene la ventaja de que permite trabajar como en un espacio de Banach llevando cuidado con la homogeneidad de la norma que ahora no se cumple

Los sistemas dinámicos caóticos han recibido gran atención en los últimos años. Un operador lineal es caótico si admite un conjunto denso de puntos periódicos. La propiedad de especificación es una noción de caos (en el sentido topológico) más potente que la debida a Devaney.

Otra variante más fuerte que la hiperciclicidad es la hiperciclicidad frequente. Este concepto fue introducido por Bayart y Grivaux motivados por el teorema ergódico de Birkhoff. Un operador es frecuentemente hipercíclico si algún elemento tiene una órbita que corta muy a menudo a cada conjunto abierto no vacío. En el capítulo 4 de esta tesis se estudia con profundidad la propiedad de especificación para operadores lineales y continuos definidos en F-espacios separables. Los resultados que presentamos han sido aceptados para su publicación en J. Math. Anal. Appl.

Finalmente, en la cuarta parte de este trabajo, se extiende la propiedad de especificación a semigrupos de operadores fuertemente continuos en espacios de Banach, esto es, C_0-semigrupos. Estos operadores pueden verse como la versión continua del caso discreto correspondiente a las iteraciones de un único operador. Ahora, la labor de los operadores desplazamiento en espacios de sucesiones como clases de prueba la desempeñan los semigrupos de traslación. Al igual que en capítulos anteriores, se estudia la relación de la propiedad SP para C_0-semigrupos con otras propiedades dinámicas.

[CA] La dinàmica d'operadors lineals, o simplement dinàmica lineal, estudie les òrbites generades per les iteracions d'una transformació lineal. La hiperciclicitat es el estudi dels operadors lineal que posseeixen una òrbita densa. Si bé G. D. Birkhoff (en 1929), G. R. MacLane (en 1952) y S. Rolewicz (en 1969) van obtenir exemples d'operadors lineals hipercíclics, podem fixar el naixement de la dinàmica lineal en 1982 amb la tesi de C. Kitai [68]. Des de llavors molts matemàtics han contribuït al desenvolupament d'esta florent area de l'anàlisi.

La dinàmica lineal connecta el anàlisi funcional y la dinàmica. Igual que en sistemes dinàmics clàssics, podem estudiar la dinàmica d'operadors lineals des d'un punt de vista topològic. En eixe context, parlem que un operador té la propietat d'especificació (SP). Precisament, al estudi de la propietat d'especificació en sistemes dinàmics lineals està dedicada la present tesi doctoral. Una aplicació continua en un espai mètric compleix la propietat d'especificació si per a qualsevol família de punts podem aproximar, amb certa uniformitat, parts de les seues òrbites per una sola òrbita d'un punt periòdic.

La tesi es un compendi de articles sobre la propietat d'especificació. S'estructura en quatre parts precedides d'un capítol dedicat a introduir la notació, definir els conceptes i enunciar els resultats d'àmbit general que seran utilitzats en la resta de la memòria.

Els operadors "shifts" (desplaçaments) constitueixen una de les classes més importants, com a camp de proves, en sistemes dinàmics lineals discrets. Degut a la seua estructura simple, sempre que es introdueix un nou concepte en dinàmica lineal es habitual comprovar-ho sobre shifts ponderats. Per esta raó, en la primera part d'esta memòria, s'estudia la propietat d'especificació per a operadors desplaçament unilaterals i bilaterals en espais l^p ponderats i la relació amb altres propietats dinàmiques.

En el capítol 3 es generalitzen els resultats sobre la propietat SP a operadors desplaçament en F-espais separables de successions. Un F-espai es un espai vectorial, dotat d'una F-norma, que és complet amb la mètrica induida. La noció de F-norma té l'avantatge que permet treballar com en un espai de Banach anant en compte amb l'homogeneitat de la norma que ara no es compleix. Els espais l^p amb 0 < p < 1 són exemples de F-espais.

Els sistemes dinàmics caòtics han rebut gran atenció en els últims anys. Un operador lineal és caòtic si admet un conjunt dens de punts periòdics. La propietat d'especificació és una noció de caos (en el sentit topològic) més potent que la deguda a Devaney.

Una altra variant més forta que la hiperciclicitat és la hiperciclicitat freqüent. Aquest concepte va ser introduït per Bayart i Grivaux motivats per el teorema ergòdic de Birkhoff. Un operador és freqüentment hipercíclic si algun element té una òrbita que talle molt sovint a cada conjunt obert no vuit. En el capítol 4 d'esta tesi se estudie amb profunditat la propietat d'especificació per a operadors lineals i continus definits en F-espais separables. També s'incideix en la connexió de dita propietat amb altres propietats dinàmiques. Els resultats que presentem han estat acceptats per a la seva publicació en J. Math. Anal. Appl.

Finalment, en la quarta part d'aquest treball, s'estén la propietat d'especificació a semigrups d'operadors fortament continus en espais de Banach, això és, C_0-semigrups. Aquests operadors poden veure's com la versió continua del cas discret corresponen a les iteracions d'un únic operador; en altres paraules, el paper de les iteracions en el cas discret ho assumeix el paràmetre en el cas continu. Ara, la labor del operadors desplaçament en espais de successions com classes de prova l'exerceixen els semigrups de translació. Igual que en capítols anteriors, s'estudia la relació de la propietat SP per a C0-semigrups amb altres propie