Duality in spaces of p-integrable functions with respect to a vector measure

Abstract

La tesis tiene como objetivo principal el estudio de la dualidad vectorial entre los espacios L^{p}(m) y L^{q}(m) de funciones integrables con respecto a una medida vectorial con valores en un espacio de Banach X, con p,q >1 exponentes reales conjugados. La clave de la dualidad es la definición de una forma bilineal Phi:L^{p}(m) x L^{q}(m)' X dada por el operador integración, que a cada par (f, g) en L^{p}(m)\times L^{q}(m) le asocia int_{\Omega}fg dm. Mediante esta forma bilineal se definen dos topologías intermedias para el espacio L^{p}(m). La más débil es la topología m-débil, que corresponde a la topología de la convergencia débil de las integrales. Además de estudiar sus propiedades, se prueba que para p>1 esta topología coincide con la débil del espacio L^{p}(m). La importancia de este resultado radica en que, al no conocerse una representación concreta del dual del espacio L^{p}(m)$, es muy interesante describir la convergencia débil en términos de la convergencia débil de las integrales en el espacio de Banach X. La m-topología corresponde a la convergencia fuerte de las integrales en X, y puede coincidir en casos extremos con la débil y con la fuerte de L^{p}(m). Se estudian sus propiedades, en particular se dan condiciones para asegurar que un subconjunto de L^{p}(m) sea m-compacto. Estas topologías, en particular la m-débil, son útiles para la descripción del predual del espacio L^{p}(m) en términos de productos tensoriales. Esta construcción se describe de forma detalla en el tercer capítulo de la memoria de la tesis. Cabe destacar de éste un resultado que caracteriza aquellos operadores definidos en L^{p}(m) con rango en X que se pueden escribir como una integral. Aunque sin duda el resultado más relevante es el que, bajo cierta hipótesis de compacidad de la bola unidad (equivalente a la reflexividad del espacio L^{p}(m)) ofrece una representación de L^{p}(m) como el dual del producto tensorial de L^{q}(m) y X^{\prime}, dotado de una norma. Este resultado es clave para obtener una generalización de los resultados de dualidad para los espacios clásicos de funciones $p-$integrables. La m-topología permite definir un concepto de sumabilidad en L^{p}(m) basada en la dualidad vectorial, los llamados operadores m-r-sumantes definidos en espacios de funciones integrables con respecto a una medida vectorial, que se estudian en el cuarto capítulo. Esta definición generaliza la sumabilidad clásica. Se estudian las propiedades de estos operadores, y se presentan ejemplos que ponen de manifiesto su interés. En la misma línea que en la teoría clásica, obtenemos teoremas de dominación y de factorización. La última sección de este capítulo está dedicada a la descripción de estos espacios de operadores como el dual de un espacio vectorial, extendiendo así la teoría clásica de Groethendieck, para el caso de operadores definidos en espacios L^{p}(m). En el último capítulo de la memoria, las técnicas de la dualidad vectorial se aplican a los espacios de Orlicz respecto a una medida vectorial, L^{\Phi}(m), que generalizan a los L^{p}(m). Se estudian propiedades de los espacios de Orlicz vectoriales y bajo la condición Delta_{2} para la función de Young, se caracterizan el espacio de multiplicadores entre L^{\Phi}(m) y L^{1}(m). Como una aplicación de estos resultados, se caracterizan aquellos operadores que factorizan a través de un espacio de Orlicz vectorial.