Extensión del modelo de Van Hiele al concepto de área

Abstract

[EN] THE EXTENSION OF VAN HIELE'S MODEL TO THE CONCEPT OF AREA

The extension of Van Hiele's model outside the geometrical sphere and of the basic educational levels has been an opened question up to the moment when Professor LLorens read his thesis in 1994 at the Polytechnic University of Valencia. Here the concept of local proximity was applied to one of its most visual and geometrical manifestations: the tangent line to a specific point in a curve. Some other possibilities were displayed there, together with a specific methodology to be used, in a similar or more interesting way than this present thesis. Even though a lot of works related to this topic were published and at least five doctoral theses were written, as a progressive extension of the previous one, there are some questions which are still considered to represent a high level of interest.

One of these questions, maybe the most relevant for the A level teaching and its mathematical foundations, is represented by the title of this thesis, both for its direct interest and the concept of whole. We have extended Van Hiele's model to the concept of area by formulating the corresponding descriptors and proposing methodological actions which are in favour of the progress of the reasoning process. We have used the decomposition into areas of a mixtilinear trapezium, with visual and numerical components, as a mechanism to approach the first stage of the concept. The numerical component, related to the previous extensions, represents a breakdown. Using as a tool a Socratic interview, in the daily process of feedback of these interviews, we have reached a formulation of the descriptors which later on has been confirmed by means of a standard guideline answered in at least twenty interviews.

Apart from that we have developed a written test, which lacks the precision of an interview but with other advantages represented by the use of accurate statistic tools. This test enabled us to verify the existence of two levels of reasoning, previously described, and the possibility to detect them.

Hence this work has been able to prove that Van Hiele's model is able to describe the process of reasoning in other pillar of the mathematical analysis. Also it highlights that some educational routines do not favour the right learning of some concepts. There is a high number of students who, despite their academic results, have not reached the third stage. The emphasis in mechanical or algebraic topics decreases the possibility of realizing other type of work which may be more appropriate for a better comprehension. That is to say that, the skill in algebraic tools is not linked to a high level of reasoning. As a consequence, the use of visuals is reopened to debate in order to favour the create learning situations which lead to the increase in the level of reasoning.

[ES] EXTENSIÓN DEL MODELO DE VAN HIELE AL CONCEPTO DE ÁREA

La extensión del modelo de van Hiele fuera del ámbito de la geometría y de los niveles educativos elementales fue una cuestión abierta hasta la tesis, leída en 1994 en la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) por el prof. Llorens, en que se aplicaba al concepto de aproximación local en una de sus manifestaciones más visuales y geométrica: la recta tangente a una curva en un punto. En aquella memoria se sugerían otras posibilidades con tanto o más interés que la desarrollada y, además, se trazó una cierta "metodología" para abordarlas. Aunque se han publicado numerosos trabajos al respecto y, además, se han leído al menos cinco tesis doctorales que cabe considerar continuadoras -al menos, en parte- de aquella memoria, quedan aún pendientes no pocas cuestiones que podemos considerar del máximo interés.

Una de ellas, quizá la de mayor repercusión en las cuestiones docentes del bachillerato y de los fundamentos de análisis matemático, tanto por su interés directo como por la relación con el concepto de integral, es la que da título a nuestra memoria. Hemos extendido el modelo de van Hiele al concepto de área formulando los descriptores correspondientes y sugiriendo acciones metodológicas que favorecen el progreso en el nivel de razonamiento. Asimismo, hemos analizado la relación con el proceso de enseñanza-aprendizaje de la integral. Todo ello con el esquema de trabajo que, como hemos dicho antes, se ha reiterado en las memorias de doctorado mencionadas.

En concreto, hemos usado, como mecanismo para aproximarnos a la fase-1 del concepto, una descomposición en franjas para un trapecio mixtilíneo, con componente visual y numérica. Esa componente numérica supone toda una novedad respecto de las extensiones del modelo antes citadas. Utilizando como herramienta una entrevista socrática, en el habitual proceso de feed-back de estas entrevistas, hemos logrado llegar a la formulación de los descriptores que después se han corroborado usando el guion definitivo en una veintena de entrevistas.

Además, hemos desarrollado una prueba escrita que, sin la precisión de la entrevista pero con otras ventajas evidentes, usando las herramientas estadísticas apropiadas, nos ha permitido verificar la existencia de los niveles de razonamiento previamente descritos y la posibilidad de detectarlos.

Así pues, con este trabajo se ha probado que el modelo de van Hiele es capaz de describir el proceso de razonamiento en otro pilar más del análisis matemático. Y también evidencia que determinadas rutinas presentes en los sistemas educativos no favorecen el correcto aprendizaje de los conceptos. Hay demasiados estudiantes que no han alcanzado el nivel III pese a que por su nivel académico deberían haberlo hecho, pero el énfasis en cuestiones mecánicas o algebraicas merman la posibilidad de realizar otro tipo de trabajo más adecuado para que se produzca una buena comprensión. Es decir, se ha evidenciado que la destreza en las herramientas algebraicas no va ligada a un nivel de razonamiento elevado. En consecuencia, se vuelve a plantear el uso de la visualización para crear situaciones de aprendizaje que conduzcan al progreso en el nivel de razonamiento.

[CA] EXTENSIÓ DEL MODEL DE VAN HIELE AL CONCEPTE D'ÀREA

L'extensió del model de van Hiele fora de l'àmbit de la geometria i dels nivells educatius elementals va ser una qüestió oberta fins la tesi, llegida al 1994 en la Universitat Politècnica de València (UPV) pel prof. Llorens, en la qual s'aplicava al concepte d'aproximació local en una de les seues manifestacions més visuals i geomètrica: la recta tangent a una corba en un punt. A aquella memòria es suggerien altres possibilitats amb tant o més interés que la desenvolupada i, a més a més, es va dissenyar una certa "metodologia" per abordar-les. Encara que s'han publicat nombrosos treballs al respecte i a més a més s'han llegit al menys cinc tesis doctorals que es poden considerar continuadores -al menys, en part- d'aquella memòria, queden encara pendents no poques qüestions que podem considerar del màxim interés.

Una d'elles, potser la de major repercussió en les qüestions docents del batxillerat i dels fonaments de l'anàlisi matemàtica, tant pel seu interés directe com per la relació amb el concepte d'integral, és la que dóna títol a la nostra memòria. Hem estés el model de van Hiele al concepte d'àrea formulant els descriptors corresponents i suggerint accions metodològiques que afavorisquen el progrés en el nivell de raonament. Així mateix, hem analitzat la relació amb el procés d'ensenyança-aprenentatge de la integral. Tot allò amb l'esquema de treball que, com hem dit abans, s'ha reiterat a les memòries de doctorat anomenades.

En concret, hem fet ús, com mecanisme per aproximar-nos a la fase-1 del concepte, una descomposició en franjes per a un trapeci mixtiline, amb component visual i numèrica. Eixa component numèrica suposa tota una novetat respecte les extensions del model abans dites. Utilitzant com ferramenta una entrevista socràtica, en l'habitual procés de feed-back d'aquestes entrevistes, hem aconseguit arribar a la formulació dels descriptors que després hem corroborat fent ús del guió definitiu en unes vint entrevistes.

A més a més, hem desenvolupat una prova escrita que, sense la precisió de l'entrevista però amb altres avantatges evidents, utilitzant les ferramentes estadístiques apropiades, ens han permés verificar l'existència dels nivells de raonament prèviament descrits i la possibilitat de detectar-los.

Així, amb aquest treball ha quedat provat que el model de van Hiele pot descriure el procés de raonament en altre pilar més de l'anàlisi matemàtica. I també evidencia que determinades rutines presents als sistemes educatius no afavoreixen el correcte aprenentatge dels conceptes. Hi ha massa estudiants que no han aconseguit el nivell III encara que pel seu nivell acadèmic haurien d'haver-lo fet, però l'èmfasi en qüestions mecàniques o algebraiques disminueixen la possibilitat de realitzar altre tipus de treball més adequat per a que es produisca una bona comprensió. És a dir, s'ha evidenciat que la destresa amb les eines algebraiques no va lligada a un nivell de raonament elevat. En conseqüència, es torna a plantejar l'ús de la visualització per a crear situacions d'aprenentatge que conduisquen al progrés en el nivell de raonament.