Criptografía elíptica: álgebra, geometría y seguridad

[ES] La criptografía es la ciencia fundamental en la seguridad en las comunicaciones. Garantizar la autenticidad, integridad y confidencialidad del mensaje es lo que ha impulsado desde la antigüedad el desarrollo de sistemas criptográficos que actualmente se basan en la alta complejidad matemática computacional.

La criptografía de clave pública basada en curvas elípticas tiene la capacidad de ofrecer altos niveles de seguridad con tamaños de clave menores que otros sistemas clásicos de ahí su actual relevancia en los últimos años. El fundamento matemático de la criptografía elíptica cubre varias áreas como son la teoría de números, teoría de cuerpos y geometría algebraica. Al igual que el sistema criptográfico de ElGamal, estos sistemas se sustentan en el problema del logaritmo discreto, presentando una mayor resistencia frente a ataques conocidos lo que explica la eficiencia y robustez de los sistemas basados en curvas elípticas.

Este trabajo pretende introducir los fundamentos matemáticos de la criptografía basada en curvas elípticas y el papel que desempeñan en el esquema de seguridad actual. Se presentan, en primer lugar, los conceptos fundamentales necesarios para el estudio de estos sistemas. A continuación, se desarrollan las propiedades algebraicas y geométricas de las curvas elípticas, prestando especial atención a la definición de la ley de grupo y a su estructura. Sobre esta base, se analizan diversos algoritmos y protocolos criptográficos basados en curvas elípticas, como los esquemas de firma digital y los métodos de intercambio de claves. Asimismo, se estudia su relación con otros métodos criptográficos, como por ejemplo el RSA, y se discuten sus aplicaciones en el ámbito de la seguridad de la información.

[EN] Cryptography is the fundamental science of communication security. Ensuring the authenticity, integrity, and confidentiality of messages has driven the development of cryptographic systems since ancient times, systems that are currently based on high computational mathematical complexity. Public-key cryptography based on elliptic curves can offer high levels of security with smaller key sizes than other classical systems, which explains its relevance in recent years. The mathematical foundation of elliptic cryptography covers several areas, such as number theory, field theory, and algebraic geometry. Like the ElGamal cryptosystem, these systems are based on the discrete logarithm problem, showing greater resistance to known attacks, which accounts for the efficiency and robustness of elliptic curve-based systems. This work aims to introduce the mathematical foundations of elliptic curve cryptography and the role they play in the current security landscape. First, the fundamental concepts necessary for studying these systems are presented. Next, the algebraic and geometric properties of elliptic curves are developed, with special attention to the definition of the group law and its structure. Based on this, various cryptographic algorithms and protocols based on elliptic curves are analyzed, such as digital signature schemes and key exchange methods. Furthermore, its relationship with other cryptographic methods, such as RSA, is studied, and its applications in the field of information security are discussed.