Desenvolupament de nous mètodes per a la resolució d'equacions i sistemes d'equacions no lineals i Aplicacions

Abstract

La necesidad de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales surge de manera natural en discretizar las ecuaciones integro-diferenciales que modelan los problemas de los que se encargan las diferentes ramas de las ciencias y la ingeniería. Actualmente, se puede hacer uso de los ordenadores como herramientas para facilitar todas las tareas en torno a su resolución. Con la mejora de los dispositivos, el desarrollo de las técnicas de computación y la aritmética de precisión variable, se ha generalizado la demanda de métodos iterativos que resuelvan de forma rápida y eficiente las ecuaciones y sistemas de ecuaciones. El Análisis Numérico es la rama de las matemáticas que responde a estos requerimientos. En este trabajo trataremos algunos aspectos de interés de esta área. En concreto, mostraremos una aproximación de la derivada que nos permita modificar un resultado para obtener métodos de orden p+2 a partir de otras de orden p, de modo que se mantengan las propiedades de convergencia y estudiaremos la mejora de la eficiencia de esta técnica, debido al menor número de evaluaciones funcionales, aplicada a métodos de diferente orden. Otro resultado se ha alcanzado generalizando el método de Sharma, y generando así familias de métodos de orden 4 óptimos y de orden 6; con el estudio del número de operaciones obtendremos los dos métodos más eficientes de la familia de los que estudiaremos su dinámica. Otra línea de investigación consiste en el estudio de las diversas estrategias para aproximar el cálculo de las jacobiana, así los operadores de diferencias divididas han contribuido a estos objetivos. Nosotros hemos desarrollado un operador de diferencias divididas que, a pesar de ser más sencillo que otros ya conocidos, conserva las propiedades de convergencia de los métodos con derivadas. Posteriormente hemos adaptado las familias de métodos de orden 4 y 6 para ecuaciones con raíces múltiples obteniendo también métodos libres de derivadas aplicando el operador en diferencias divididas anteriores. A continuación hemos considerado hemos realizado el estudio del comportamiento dinámico de ciertos métodos aplicados sobre el problema de los N cuerpos. Finalmente hemos obtenido ciertos resultados referentes a la convergencia semilocal. Los resultados teóricos se han contrastado con diversas experiencias numéricas.

The need to solve equations and systems of nonlinear equations arises naturally in discretizing the integro-differential equations that model the problems that are responsible for the different branches of science and engineering. Currently, computers can be used as tools to facilitate all tasks related to their resolution. With the improvement of the devices, the development of computing techniques and variable accuracy arithmetic, the demand for iterative methods has been generalized to solve the equations and equation systems quickly and efficiently. Numerical Analysis is the branch of mathematics that meets these requirements. In this paper we will discuss some aspects of interest in this area. In particular, we will show an approximation of the derivative that allows us to modify a result to obtain methods of order p+2 from others of order p, so that the convergence properties are maintained and we will study the improvement of the efficiency of this technique, due to the smallest number of functional evaluations, applied to methods of different order. Another result has been achieved by generalizing the Sharma method, and thus constructing families of order 4 optimal and order methods 6; With the study of the number of operations, we will obtain the two most efficient methods of the family from which we will study its dynamics. Another line of research consists in the study of the various strategies to approximate the calculation of the Jacobins, thus the operators of divided differences have contributed to these objectives. We have developed a divided difference operator that, while being simpler than other ones already known, maintains the convergence properties of methods with derivatives. Later we have adapted families of order methods 4 and 6 for equations with multiple roots, also obtaining derivative free methods by applying the operator in previous divided differences. Below we have considered that we have done the study of the dynamic behavior of certain methods applied to the problem of the N-bodies. Finally we have obtained certain results referring to semilocal convergence. The theoretical results have been contrasted with several numerical experiences.

La necessitat de resoldre equacions i sistemes d'equacions no lineals sorgeix de manera natural en discretitzar les equacions integrodiferencials que modelen els problemes dels quals s'encarreguen les diferents branques de les ciències i l'enginyeria. Actualment, es pot fer ús dels ordinadors com a eines per facilitar totes les tasques entorn a la seua resolució. Amb la millora dels dispositius, el desenvolupament de les tècniques de computació i l'aritmètica de precisió variable, s'ha generalitzat la demanda de mètodes iteratius que resolguen de forma ràpida i eficient les equacions i sistemes d'equacions. L'Anàlisi Numèrica és la branca de les matemàtiques que respon a aquestos requeriments. En aquest treball tractarem alguns aspectes d'interés d'aquesta àrea. En concret, mostrarem una aproximació de la derivada que ens permeta modificar un resultat per obtenir mètodes d'ordre p+2 a partir d'altres d'ordre p, de manera que es mantinguen les propietats de convergència i estudiarem la millora de l'eficiència d'aquesta tècnica, degut al menor nombre d'avaluacions funcionals, aplicada a mètodes de diferent ordre. Un altre resultat s'ha assolit generalitzant el mètode de Sharma, i construint així famílies de mètodes d'ordre 4 òptims i d'ordre 6; amb l'estudi del nombre d'operacions obtindrem els dos mètodes més eficients de la família dels quals estudiarem la seua dinàmica. Una altra línia d'investigació consisteix en l'estudi de les diverses estratègies per aproximar el càlcul de les jacobianes, així els operadors de diferències dividides han contribuït a aquests objectius. Nosaltres hem desenvolupat un operador de diferències dividides que, tot i ser més senzill que d'altres ja coneguts, manté les propietats de convergència dels mètodes amb derivades . Posteriorment hem adaptat les famílies de mètodes d'ordre 4 i 6 per a equacions amb arrels múltiples obtenint també mètodes lliures de derivades aplicant l'operador en diferències dividides anteriors. A continuació hem considerat hem realitzat l'estudi del comportament dinàmic de certs mètodes aplicats sobre el problema dels N cossos. Finalment hem obtingut certs resultats referents a la convergència semilocal. Els resultats teòrics s'han contrastat amb diverses experiències numèriques.