On the Boundedness of the Hilbert Transform in Lebesgue Spaces of the Real Line

Abstract

[ES] La transformada de Hilbert es un ejemplo clásico de Integrales Singulares. El tema de Integrales Singulares tiene importantes conexiones con el estudio de las Series de Fourier, de las Ecuaciones Diferenciales Parciales y otras ramas de análisis y han sido sometidos a un desarrollo considerable, como resultado del trabajo de Mihlin, Caldèron y Zygmund. La transformada de Hilbert es un operador básico en el campo de la análisis armónica que surge de el estudio de la transformada de Fourier y toma el nombre gracias a David Hilbert. Para resolver un caso especial del problema de Riemann-Hilbert para funciones holomórficas, Hilbert presentó este herramienta y notó primero que la transformada relaciona la imagen de la línea real de un par de funciones conjugadas y armónicas. Luego fue probado por Marcel Riesz que la trasformada de Hilbert está bien definida para funciones en $L^p(\R)$, para $1\leq p <\infty$ y que es un operador linear acotado en $L^p(\R)$, para $1< p <\infty$. Este trabajo consiste en dos partes principales y el propósito de este trabajo es lo de obtener diferentes pruebas para diferentes formulaciones equivalentes de dicho operador cuando actúa en espacios de Lebesgue definidos en la línea real. En la primera parte utilizamos técnicas de variables complejas, mientras que en la segunda, utilizamos interpolación y técnicas real.

[EN] The Hilbert Transform is a classical example of Singular Integral. The subject of Singular Integrals has shown to have important connections with the study of Fourier Series, Partial Differential Equations and other branches of Analysis and has undergone a considerable development, as a result of the works of Mihlin, Caldèron and Zygmund. The Hilbert transform is a basic operator in the field of Harmonic Analysis that arises from the study of the Fourier transform and is named after David Hilbert. In order to solve a special case of the Riemann-Hilbert problem for holomorphic functions, Hilbert introduced this tool and first noticed that the transform relates the image of the real line of a harmonic conjugate pair of functions. Later it was proved by Marcel Riesz that the Hilbert transform is well-defined for functions in $L^p(\R)$, with $1\leq p <\infty$ and it is a bounded linear operator on $L^p(\R)$, for $1< p <\infty$. This thesis consists of two major parts. The aim of this work is to get different proofs for different equivalent formulations of such an operator when acting on Lebesgue spaces defined on the real line. In the first part we use complex variable techniques, while in the second one, we use interpolation and real techniques.